单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、可分离变量方程,第七章微 分 方 程,第二节一阶微分方程,二、一阶线性微分方程,一、可分离变量方程第七章微 分 方 程第二节一阶微分方程,1,一阶微分方程的一般形式为,F,(,x,y,y,)=0.,一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0.,2,一、可分离变量方程,例如：形如,y,=,f,(,x,),g,(,y,),的微分方程，称为,可分离变量方程,.,(,1,),分离变量,将方程整理为,使方程各边都只含有一个变量.,的形式，,一、可分离变量方程例如：形如y=f(x)g(y),3,(,2,),两边积分,两边同时积分，得,故方程通解为,我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，,而把积分所带来的任意常数明确地写上.,(2)两边积分两边同时积分，得故方程通解为我们约定在微,4,例,1,求方程,解,分离变量，得,两边积分，得,这就是所求方程的通解,例 1 求方程解分离变量，得两边积分，得这就是所求方程,5,例,2,求方程,解,分离变量，得,两边积分，得,化简得,例 2 求方程解分离变量，得两边积分，得化简得,6,另外，,y,=0,也是方程的解，,因此,C,2,为任意常数,求解过程可简化为：,两边积分得,即通解为,其中,C,为任意常数.,中的,C,2,可以为,0，,这样，方程的通解是,分离变量得,另外，y=0 也是方程的解，因此 C2 为任意常数求解,7,例,3,求方程 d,x,+,xy,d,y,=,y,2,d,x,+,y,d,y,满足初始条件,y,(0)=2 的特解.,解,将方程整理为,分离变量，得,两边积分，有,例 3 求方程 dx+xydy=y2dx+,8,化简，得,即,将初始条件,y,(0)=2,代入，,为所求之通解.,得,C,=3,.,故所求特解为,化简，得即将初始条件 y(0)=2 代入，为所求之通解.,9,例,4,解,分离变量得,即,例 4解分离变量得即,10,两边积分，得,经整理，得方程的通解为,也可写为,两边积分，得经整理，得方程的通解为也可写为,11,例,5,解,积分后，得通解,分离变量,得,即,例 5解积分后，得通解分离变量,得即,12,二、一阶线性微分方程,一阶微分方程的下列形式,称为一阶线性微分方程，简称,一阶线性方程,.,其中,P,(,x,)、,Q,(,x,),都是自变量的已知连续函数.,左边的每项中仅含,y,或,y,，且均为,y,或,y,的一次项.,它的特点是：右边是已知函数，,二、一阶线性微分方程一阶微分方程的下列形式称为一阶线性微分方,13,称为一阶线性齐次微分方程，简称,线性齐次方程,，,0，则称方程,为一阶线性非齐次微分方程，简称,线性非齐次方程,.,通常方程,称为方程,所对应的线性齐次方程.,若,Q,(,x,),若,Q,(,x,)0，则方程成为,称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程，,14,1,.一阶线性齐次方程的解法,一阶线性齐次方程,是可分离变量方程.,两边积分，得,所以，方程的通解公式为,分离变量，得,1.一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程是可分离变量方程.,15,例,6,求方程,y,+,(sin,x,),y,=0 的通解.,解,所给方程是一阶线性齐次方程，且,P,(,x,)=sin,x,，,由通解公式即可得到方程的通解为,则,例 6 求方程 y+(sin x)y=0 的通解.,16,例,7,求方程,(,y,-,2,xy,),d,x,+,x,2,d,y,=0,满足初始条件,y,|,x,=1,=e,的特解.,解,将所给方程化为如下形式：,这是一个线性齐次方程，,则,由通解公式得该方程的通解,将初始条件,y,(1)=e,代入通解，,得,C,=1,.,故所求特解为,例 7求方程 (y-2xy)dx+x2dy,17,2,.一阶线性非齐次方程的解法,设,y,=,C,(,x,),y,1,是非齐次方程的解，,将,y,=,C,(,x,),y,1,(其中,y,1,是齐次方程,y,+,P,(,x,),y,=0,的解)及其导数,y,=,C,(,x,),y,1,+,C,(,x,),y,1,代入方程,则有,即,2.一阶线性非齐次方程的解法设 y=C(x)y1 是非齐,18,因,y,1,是对应的线性齐次方程的解，,因此有,其中,y,1,与,Q,(,x,),均为已知函数，,代入,y,=,C,(,x,),y,1,中，得,容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程,所以可以通过积分求得,因 y1 是对应的线性齐次方程的解，因此有其中 y1 与 Q,19,且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程,的通解,在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为,于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：,上述讨论中所用的方法，是将常数,C,变为待定函数,C,(,x,),，,再通过确定,C,(,x,),而求得方程解的方法，称为,常数变易法,.,且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程的通解在运算过,20,例,8,求方程 2,y,-,y,=e,x,的通解.,解,法一,使用常数变易法求解,将所给的方程改写成下列形式：,这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为,将,y,及,y,代入该方程，得,设所给线性非齐次方程的解为,例 8 求方程 2y-y=ex 的通解.解法一,21,于是，有,因此，原方程的通解为,解法,二,运用通解公式求解,将所给的方程改写成下列形式：,于是，有因此，原方程的通解为解法二 运用通解公式求解将所,22,则,代入通解公式，得原方程的通解为,则代入通解公式，得原方程的通解为,23,例,9,求解初值问题,解,使用常数变易法求解,将所给的方程改写成下列形式：,则与其对应的线性齐次方程,的通解为,例 9 求解初值问题解使用常数变易法求解将所给的方,24,设所给线性非齐次方程的通解为,于是，有,将,y,及,y,代入该方程，得,设所给线性非齐次方程的通解为于是，有将 y 及 y代入该,25,因此，原方程的通解为,将初始条件,y,(,p,)=1 代入，得,C,=,p,，,所以，所求的特解，即初值问题的解为,因此，原方程的通解为将初始条件 y(p)=1 代入，得,26,例,10,求方程,y,2,d,x,+(,x,-,2,xy,-,y,2,)d,y,=0 的通解.,解,将原方程改写为,这是一个关于未知函数,x=x,(,y,)的一阶线性非齐次方程，,它的自由项,Q,(,y,)=1.,例 10求方程 y2dx+(x-2xy-y2),27,代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有,即所求通解为,代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有即所求通解为,28,