单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、离散型随机变量函数的分布,三、连续型随机变量函数的分布,四、小结,一、问题的引入,第五节两个随机变量的函数的分布,二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 四,1,为了解决类似的问题下面,我们讨论随机变量函数的分布.,一、问题的引入,为了解决类似的问题下面一、问题的引入,2,二、离散型随机变量函数的分布,设(X,Y)为二维离散型随机变量，,则函数,是一维离散型随机变量,若已知(X,Y)的分布律，,如何得到,的分布律?,二、离散型随机变量函数的分布 设(X,Y)为二维离散,3,例1,设二维,r.v.,(,X,Y,)的概率分布为,X,Y,p,ij,-1 1 2,-1,0,求,的概率分布,例1 设二维r.v.(X,Y)的概率分布为X Y pij,4,解,根据(,X,Y,)的联合分布可得如下表格,：,P,X,+,Y,X,-Y,X Y,Y/X,(,X,Y,),(-1,-1),(-1,0),(1,-1),(1,0),(2,-1),(2,0),-2 -1 0 1 1 2,0 -1 2 1 3 2,1 0 -1 0 -2 0,1 0 -1 0 -1/2 0,解 根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：P X+,5,故得,P,X,+,Y,-2 -1 0 1 2,P,X-Y,-1 0 1 2 3,故得PX+Y-2 -1 0,6,P,X Y,-2 -1 0 1,P,Y/X,-1 -1/2 0 1,PX Y-2 -1 0,7,结论,结论,8,例,2 设两个独立的随机变量,X,与,Y,的分布律为,求随机变量,Z,=,X,+,Y,的分布律.,得,因为,X,与,Y,相互独立,所以,解,例 2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为求,9,可得,所以,可得所以,10,设,X B,(,n,1,p,),Y B,(,n,2,p,),且独立，,具有可加性的两个离散分布,设,X P,(,1,),Y P,(,2,),且独立，,则,X+Y B,(,n,1,+,n,2,p,),则,X+Y P,(,1,+,2,),证明过程见73页例3.21,设 X B(n1,p),Y B(n2,p),11,问题,已知二维随机变量(,X,Y,)的密度函数，,g,(,x,y,)为已知的二元函数，,求,Z=g(X,Y),的密度函数.,方法,从求,Z,的分布函数出发,将,Z,的分布函数,转化为(,X,Y,)的事件,三、连续型随机变量函数的分布,问题 已知二维随机变量(X,Y)的密度函数，求 Z=,12,连续型随机变量函数的分布主要形式,这里X,Y相互独立。,连续型随机变量函数的分布主要形式这里X,Y相互独立。,13,设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度,f,(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情况下，Z是一连续型随机变量。,为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数,1.和分布：,Z,=,X,+,Y,的分布,求解过程中，关键在于将事件Zz等价地转化为用(X,Y)表示的事件g(X,Y)z=(X,Y),其中 。,设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,14,z,z,x+y=z,设,(X,Y),的联合概率密度为,f,(x,y),，现求,Z=X+Y,的概率密度。令 ，则,Z,的分布函数为,zzx+y=z 设(X,Y)的联合概率密度为,15,由此可得概率密度函数为,由于,X,与,Y,对称,当,X,Y,独立时,卷积公式,称之为函数,f,X,与,f,Y,的,卷积,由此可得概率密度函数为由于 X 与 Y 对称,当X,16,例3,设随机变量,X,Y,相互独立,且均服从标准正态分布,求,Z=X+Y,的概率分布,.,所以由卷积公式得,Z=X+Y,概率密度为,解因为,X,Y,独立且其概率密度分别为,1、考虑被积函数的非零区域;,2,、,z,在,(-,+,),上取值,;,3,、,x,在,(-,+,),上积分,;,4,、在,xoz,系中综合上述各点确定,z,的分段情形,.,例3 设随机变量X,Y相互独立,且均服从标,17,所以,ZN(0,2).,所以ZN(0,2).,18,说明,有限个,相互独立,的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,说明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然,19,正态随机变量的结论,（定理3.1）,若,X,Y,相互独立,则,若,相互独立,则,推广,正态随机变量的结论（定理3.1）若X,Y 相互独立,则,20,例4,设随机变量,X,Y,相互独立,且概率密度均为：,解因为,X,Y,独立,所以,和分布,概率密度可由,卷,积公式,计算,:,求,Z=X+Y,概率密度。,计算积分,思路,:1.,被积函数非零区域,;2.z,取任意实,数,;3.x,在,(-,+,),上积分,;4.,综合上述就,z,分段,.,例4 设随机变量X,Y相互独立,且概率密度均为：,21,由边缘概率密度确定,的表达式,特别是其非零区域,:,由题目条件得,:,故得,:,由边缘概率密度确定,22,计算卷积,:,函数自变量为,z,积分变量为,x,当,z,取值范围确,定后,x,由,-,积分至,+,(,只需在非零区域内一段上积,分,).,计算卷积:函数自变量为z,积分变量为,23,因为,所以,因为所以,24,综上可得,:,综上可得:,25,参照,D,就,z,在,(-,+,),上进行分段,;,对上述各分段中取定的,z,值,就,x,从,-,积分至,+,实际只需在非零区域,D,上一段积分,.,卷积计算思路,在,xoz,平面上确定被积函数及其非零区域,D;,注意：上述也是一般参量积分的计算方法。,参照D就z在(-,+)上进行分段;,26,练习,若,X,和,Y,独立,具有共同的概率密度,求,Z,=,X,+,Y,的概率密度.,解 由卷积公式,练习 若 X 和Y 独立,具有共同的概率密度求 Z=X,27,暂时固定,故,当 或 时,当,时,当,时,于是,暂时固定故当 或 时,28,概率论：二维随机变量的函数的分布课件,29,推广,推广,30,例,例,31,解,解,32,概率论：二维随机变量的函数的分布课件,33,概率论：二维随机变量的函数的分布课件,34,概率论：二维随机变量的函数的分布课件,35,概率论：二维随机变量的函数的分布课件,36,需要指出的是，当,X,1,X,n,相互独立且具有相同分布函数,F,(,x,)时,常,称,M=,max(,X,1,X,n,)，,N=,min(,X,1,X,n,),为极值.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有,37,小 结,1.离散型随机变量函数的分布律,小 结1.离散型随机变量函数的分布律,38,2.连续型随机变量函数的分布,这里X,Y相互独立。,2.连续型随机变量函数的分布这里X,Y相互独立。,39,例题,设随机向量,(X,Y),服从区域,D=(x,y)|1x3,1y3,上的均匀分布,求,U=|X-Y|,的概率密度函数.,解,(X,Y)的联合概率密度为,1 3,3,1,(1)u0时,F(u)=0,y-x=u,y-x=-u,y-x=-2,由分析可见,u=2是两种类型积分区域的划分点.,G,f(u)=0,例题 设随机向量(X,Y)服从区域解 (X,Y)的联合,40,(2)0u2时,(3)u2时,F(u)=1,f(u)=1-u/2,f(u)=0,所以,1 3,3,1,y-x=u,y-x=-u,y-x=-2,G,(2)0u2时,(3)u2时,F(u)=1f(u,41,例 设随机变量X与Y独立，概率密度函数为,解 (X,Y)的联合密度函数为,例 设随机变量X与Y独立，概率密度函数为解 (X,Y)的,42,所以,练习 84页11题,所以,练习 84页11题,43,