单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,2.2.4,均值不等式及其应用,第,1,课时,2.2.4 均值不等式及其应用第1课时,1,问题,1,阅读课本第,7175,页,回答下列问题:,整体概览,(,1,)本节将要研究哪类问题?,(,2,)本节研究的起点是什么?目标是什么?,问题1阅读课本第7175页,回答下列问题:整体概览(1),问题,1,阅读课本第,7175,页,回答下列问题:,整体概览,(,1,)本节将要研究均值不等式及其应用(,2,)起点是不等式的性质以及比较法,目标是知道均值不等式,会证明均值不等式定理,会用均值不等式解决简单的最大(小)问题进一步提升数学运算、逻辑推理等素养,(,1,)本节将要研究哪类问题?,(,2,)本节研究的起点是什么?目标是什么?,问题1阅读课本第7175页,回答下列问题:整体概览(1),情境与问题,问题,给定两个正数,a,,,b,,数 称为,a,,,b,的算术平均值;数 称为,a,,,b,的几何平均值两个数的算术平均值,实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标,那么几何平均值有什么几何意义呢?两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢?,情境与问题问题给定两个正数a,b,数 称,情境与问题,【,尝试与发现,】,(,1,)假设一个矩形的长和宽分别为,a,和,b,,求与这个矩形周长相等的正方形的边长,以及与这个矩形面积相等的正方形的边长,并比较这两个边长的大小;,(,2,)如下表所示,再任意取几组正数,算出它们的算术平均值和几何平均值,猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小,并根据(,1,)说出结论的几何意义,情境与问题【尝试与发现】(1)假设一个矩形的长和宽分别为a和,情境与问题,a,1,2,b,1,4,1,3,1,情境与问题a12b14131,新知探究,均值不等式,如果,a,,,b,都是正数,那么,,,当且仅当,a,b,时,等号成立,证明,因为,a,,,b,都是正数,所以,即,而且,等号成立时,当且仅当,即,a,b,新知探究均值不等式如果a,b都是正数,那么,新知探究,均值不等式,如果,a,,,b,都是正数,那么,,,当且仅当,a,b,时,等号成立,值得注意的是,均值不等式中的,a,,,b,可以是任意正实数,因此我们可以代入任意满足条件的数或式子,比如,一定是正确的,新知探究均值不等式如果a,b都是正数,那么,新知探究,均值不等式,如果,a,,,b,都是正数,那么,,,当且仅当,a,b,时,等号成立,综合法证明如下:,因为(,a,b,),2,0,,所以,a,2,b,2,2,ab,0,,,所以,a,2,b,2,2,ab,4,ab,0,,,即(,a,b,),2,4,ab,又因为,a,0,,,b,0,,所以,a,b,,,显然,当且仅当(,a,b,),2,0,,即,a,b,时,等号成立,即,新知探究均值不等式如果a,b都是正数,那么,新知探究,问题,2,均值不等式也称为基本不等式(基本不等式中的,a,,,b,还可以为零),其实质是:两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值那么,均值不等式有什么几何意义呢?,将均值不等式两边平方可得,ab,如果矩形的长和宽分别为,a,和,b,,那么矩形的面积为,ab,,,可以看成与矩形周长相等的正方形的面积,因此均值不等式的一个几何意义为:所有周长一定的矩形中,正方形的面积最大,新知探究问题2均值不等式也称为基本不等式(基本不等式中的a,新知探究,【,想一想,】,你能推广这个结论吗?比如所有周长相等的三角形中,什么样的三角形面积最大?平面上,周长相等的所有封闭图形中,什么样的图形面积最大?,正三角形,圆,新知探究【想一想】你能推广这个结论吗?比如所有周长相等的三角,4 均值不等式及其应用,依题意得2(xy)36,即xy18,当x 时,ymax ,解:(1)因为x0,所以根据均值不等式有,(2)如下表所示,再任意取几组正数,算出它们的算术平均值和几何平均值,猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小,并根据(1)说出结论的几何意义,(1)本节将要研究哪类问题?,因此,当矩形的长和宽都是9时,它的面积最大,最大面积为81,(1)本节将要研究哪类问题?,二定,不等式一边为定值;,,由图可知COCD,所以 ,变形为ab ,(1)本节将要研究哪类问题?,因为x0,y0,所以,从而yx(1x)所以y的最大值为 ,(1)已知a为大于0的常数,x0,求yx 的最小值,并求y取得最小值时相应的x的值;,当且仅当xy时,等号成立,,解:(1)因为x0,所以根据均值不等式有,例2(1)已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?,当且仅当1x3x,即x1时,等号成立,新知探究,问题,3,如图所示半圆中,,AB,为直径,,O,为圆心已知,AC,a,,,BC,b,,,D,为半圆上一点,且,DC,AB,,算出,OD,和,CD,,是否可以给出均值不等式的另一个几何意义?,A,B,D,O,C,在,Rt,ABD,中,由于,DC,AB,,利用射影定理可得,CD,,又,CO,,由图可知,CO,CD,,所以,,变形为,a,b,结论:均值不等式的几何意义是:一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦,4 均值不等式及其应用新知探究问题3如图所示半圆中,AB,新知探究,例,1,(,1,)已知,x,0,,求,y,x,的最小值,并说明,x,为何值时,y,取得最小值,(,2,)已知,x,(,1,,,3,),求,y,(,1,x,)(,3,x,)的最大值,以及,y,取得最大值时,x,的值,(,3,)求函数,y,x,(,1,x,),,x,,,1,)的最大值,新知探究例1(1)已知x0,求yx 的最小值,并,新知探究,例,1,(,1,)已知,x,0,,求,y,x,的最小值,并说明,x,为何值时,y,取得最小值,解:,(,1,)因为,x,0,,所以根据均值不等式有,解得,x,1,或,x,1,(舍),其中等号成立当且仅当,x,,即,x,2,1,,,因此,x,1,时,,y,取得最小值,2,新知探究例1(1)已知x0,求yx 的最小值,并,新知探究,例,1,(,2,)已知,x,(,1,,,3,),求,y,(,1,x,)(,3,x,)的最大值,以及,y,取得最大值时,x,的值,解:,(,2,)当,x,(,1,,,3,)时,一,1,x,3,,因此,1,x,0,,,3,一,x,0,当且仅当,1,x,3,x,,即,x,1,时,等号成立,从而(,1,x,)(,3,x,),4,,即,y,4,由均值不等式可得,,,从而,x,1,时,,y,取得最大值,4,新知探究例1(2)已知x(1,3),求y(1x)(,解:,(,3,)错解:由,x,1,,易知,1,x,0,,,新知探究,例,1,(,3,)求函数,y,x,(,1,x,),,x,,,1,)的最大值,从而,y,x,(,1,x,),所以,y,的最大值为 ,正解:,y,x,(,1,x,),x,2,x,(,x,),2,,,当,x,时,,y,max,解:(3)错解:由 x1,易知1x0,新知探,新知探究,(,1,)在利用均值不等式求最值时要注意,“,一正、二定、三相等,”,:一正,,a,,,b,均为正数;二定,不等式一边为定值;三相等,不等式中的等号能取到,即,a,b,有解(,2,)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,它们的积有最大值(,3,)利用均值不等式求最值时,等号必须取得到才能求出最值,若题设条件中的限制条件使等号不能成立,则要转换到另一种形式解答,新知探究(1)在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三,新知探究,例,2,(,1,)已知矩形的面积为,100,,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?,(,2,)已知矩形的周长为,36,,则这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?,在(,1,)中,矩形的长与宽的积是一个常数,要求长与宽之和的两倍的最小值;在(,2,)中,矩形的长与宽之和的两倍是一个常数,要求长与宽的积的最大值,新知探究例2(1)已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、,新知探究,例,2,(,1,)已知矩形的面积为,100,,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?,解:,(,1,)设矩形的长与宽分别为,x,与,y,,依题意得,xy,100,因此,当矩形的长和宽都是,10,时,它的周长最短,最短周长为,40,当且仅当,x,y,时,等号成立,,所以,2,(,x,y,),40,因为,x,0,,,y,0,,所以,由,,可知此时,x,y,10,新知探究例2(1)已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、,新知探究,例,2,(,2,)已知矩形的周长为,36,,则这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?,解:,(,2,)设矩形的长与宽分别为,x,与,y,,,依题意得,2,(,x,y,),36,,即,x,y,18,因为,x,0,,,y,0,,所以,因此,9,,即,xy,81,当且仅当,x,y,时,等号成立,由,,可知此时,x,y,9,因此,当矩形的长和宽都是,9,时,它的面积最大,最大面积为,81,新知探究例2(2)已知矩形的周长为36,则这个矩形的长、宽,新知探究,方法总结:,求实际问题中最值的一般思路:(,1,)读懂题意,设出变量,列出函数关系式;,(,3,)在定义域内,求函数的最大值或最小值时,一般先考虑用均值不等式,当用均值不等式求最值的条件不具备时,再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解,(,2,)把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题;,(,4,)正确地写出答案,新知探究方法总结:求实际问题中最值的一般思路:(1)读懂题意,新知探究,(,1,)已知,a,为大于,0,的常数,,x,0,,求,y,x,的最小值,并求,y,取得最小值时相应的,x,的值;,(,2,)已知,x,0,,求,y,x,的最大值,并求,y,取得最大值时相应,x,的值;,(,3,)已知,x,1,,求,y,x,的最小值,并求,y,取得最小值时相应,x,的值;,(,4,)已知,x,1,,求,y,x,的最大值,并求,y,取得最大值时相应,x,的值,新知探究(1)已知a为大于0的常数,x0,求yx,新知探究,(,2,)当,x,1,时,,y,有最大值为一,2,;,(,3,)当,x,2,时,,y,有最小值为,3,;,(,4,)当,x,0,时,,y,有最大值为一,1,参考答案:,(,1,)当,x,时,,y,有最小值为,;,新知探究(2)当x1时,y有最大值为一2;(3)当x2,依题意得2(xy)36,即xy18,例1(2)已知x(1,3),求y(1x)(3x)的最大值,以及y取得最大值时x的值,回顾本节课,你有什么收获?,当且仅当ab时,等号成立,因此 9,即xy81,问题2均值不等式也称为基本不等式(基本不等式中的a,b还可以为零),其实质是:两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值那么,均值不等式有什么几何意义呢?,所以a2b22ab4ab0,,问题3如图所示半圆中,AB为直径,O为圆心已知ACa,BCb,D为半圆上一点,且DCAB,算出OD和CD,是否可以给出均值不等式的另一个几何意义?,从而yx(1x)所以y的最大值为 ,(3)如何利用均值不等式求最值?,(2)已知x0,求yx 的最大值,并求y取得最大值时相应x的值;,(2)已知x0,求yx 的最大值,并求y取得最大值时相应x的值;,结论:均值不等式的几何意义是:一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦,证明因为a,b都是正数,所以,,由图可知COCD,所以 ,变形为ab ,即(ab)24ab,当且仅当ab时,等号成立,均值不等式如果a,b都是正数,那么 ,,归纳小结,回顾本节课,你有什么收获?,(,1,)什么叫均值不等式?如何证明?,(,2,)均值不等式的几何意义是什么?,(,3,)如何利用均值不等式求最值?,依题意得2(xy)36,即xy18归纳小结回顾本