单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复变函数复习,2005.4.13,复变函数复习2005.4.13,1,一、内容,复数的定义和代数；,复函数的定义和代数；,复函数的分析理论：微分和积分；,中心：解析性可导性,解析函数：定义域中可导函数,必要条件：满足柯西黎曼方程,积分：柯西定理（积分路径只要不经过奇点，,可以连续变形）,一、内容复数的定义和代数；复函数的定义和代数；复函数的分析理,2,复函数的泰勒展开（在解析点的展开）,复函数的洛朗展开（奇点邻域的展开）,技巧：利用泰勒展开,留数定理；,留数的求法，留数定理求实函数的积分；,傅立叶级数；,傅立叶积分变换；,拉普拉斯变换；,复数项级数、复变项级数、幂级数,复函数的泰勒展开（在解析点的展开）复函数的洛朗展开（奇点邻域,3,复数的定义和代数,复函数的定义和代数,复函数的分析理论：微分和积分；,解析函数,柯西定理,泰勒展开,洛朗展开,留数定理,留数的求法,求实函数的积分,傅立叶变换,拉普拉斯变换,相互关系,柯西公式,级数,幂级数,复数的定义和代数复函数的定义和代数复函数的分析理论：微分和积,4,二、细节,1.复数的定义和代数,复平面,z,y,x,1,1,O,二、细节1.复数的定义和代数复平面zyx11O,5,2.复函数的定义和代数,E,：定义域（复平面上）,复函数,有关概念,邻域,内点,外点,境界点,境界线,区域,闭区域,E:,2.复函数的定义和代数E：定义域（复平面上）复函数有关概念,6,3.分析理论,导数,可能有方向性！,在,一点,的可导性：导数与方向无关,柯西黎曼方程,3.分析理论导数可能有方向性！在一点的可导性：导数与方向,7,柯西黎曼方程,调和函数,相互共轭：已知一个，可以求出另一个,例：,求 u,选坐标系：,直角坐标,柯西黎曼方程调和函数相互共轭：已知一个，可以求出另一个例：,8,？,极坐标,？极坐标,9,全微分,全微分,10,4.柯西定理,在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零,积分路径只要不经过奇点，,可以连续变形,公式：,4.柯西定理在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零,11,柯西公式,例：求积分,圆心在0的圆，-,i,在其中,路径的正方向,柯西公式例：求积分圆心在0的圆，-i 在其中路径的正方向,12,5.级数,复数项级数,收敛、绝对收敛、级数的运算与收敛性有关,两个绝对收敛的,和,，,积,，仍绝对收敛,例：正误：,方法1,方法2,5.级数复数项级数收敛、绝对收敛、级数的运算与收敛性有关两,13,5.级数,复变项级数,此级数,并不绝对收敛,，上述运算无意义！,收敛、一致收敛、绝对一致收敛,5.级数复变项级数此级数并不绝对收敛，上述运算无意义！收敛,14,例,解,绝对一致收敛,例解绝对一致收敛,15,幂级数,收敛的,达朗贝尔判据,绝对收敛,收敛圆,幂级数收敛的达朗贝尔判据绝对收敛收敛圆,16,例,若,收敛,证,与它有同样收敛半径,证：,：,：,例若收敛证与它有同样收敛半径证：,17,泰勒展开（在解析点）：,与实函数展开无技术上区别,例：在z=0展开,在z=0解析,待定系数法,泰勒展开（在解析点）：与实函数展开无技术上区别例：在z=0展,18,待定系数法：设,又,为待定系数,则,待定系数法：设又为待定系数则,19,复变函数复习解读课件,20,洛朗展开（奇点邻域的展开）,技巧：利用泰勒展开,例：,在,的洛朗级数,洛朗展开（奇点邻域的展开）技巧：利用泰勒展开例：在的洛朗级数,21,6.留数定理,留数的计算,单极点,m,阶极点,留数,6.留数定理留数的计算单极点m 阶极点留数,22,例,的奇点的类型,令,无穷负幂本性奇点,例的奇点的类型令无穷负幂本性奇点,23,例,的留数,例的留数,24,实函数积分,类型一,类型二,类型三,实函数积分类型一类型二类型三,25,6.积分变换,傅里叶级数,基础：周期函数的傅里叶展开,扩展,奇函数和偶函数,有限区间中的函数,复数形式,奇、偶延拓,6.积分变换傅里叶级数基础：周期函数的傅里叶展开扩展奇函数,26,展开系数,三角函数展开,复数展开,展开系数三角函数展开复数展开,27,傅里叶积分,无限区间,时域到频域的变换,原函数,像函数,傅里叶积分无限区间时域到频域的变换原函数像函数,28,基本性质,基本性质,29,例,求,的傅立叶变换,例求的傅立叶变换,30,