,栏目索引,5,一元二次方程的根与系数的关系,第二章一元二次方程,初中数学（北师大版）,九年级 上册,第二章一元二次方程 初中数学（北师大版）,内容,推论,一元二次方程的根与系数的关系(也叫韦达定,理),如果方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0)有两个实数根为,x,1,x,2,那么,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=,推论1:如果方程,x,2,+,px,+,q,=0的两个实数根是,x,1,x,2,那么,x,1,+,x,2,=-,p,x,1,x,2,=,q,.,推论2:以两个实数,x,1,x,2,为根的一元二次方程(二次项系数为1)是,x,2,-(,x,1,+,x,2,),x,+,x,1,x,2,=0,知识点一元二次方程的根与系数的关系,内容推论一元二次方程的根与系数的关系(也叫韦达定理)如果,2,知识拓展,1.根与系数的关系的应用:(1)不解方程,求与方程的根有关的代数式的,值;(2)已知方程的一根,求方程的另一根;(3)与方程的根的判别式相结,合,确定待定的系数和解决一些综合题.,2.常见的涉及一元二次方程两根的代数式的重要变形:,(1),+,=(,x,1,+,x,2,),2,-2,x,1,x,2,;,(2)(,x,1,-,x,2,),2,=(,x,1,+,x,2,),2,-4,x,1,x,2,;,(3),+,=,;,(4),+,=,;,(5)(,x,1,+,k,)(,x,2,+,k,)=,x,1,x,2,+,k,(,x,1,+,x,2,)+,k,2,;,(6)|,x,1,-,x,2,|=,.,知识拓展2.常见的涉及一元二次方程两根的代数式的重要变形:,3,3.使用一元二次方程的根与系数的关系确定待定系数时,首先保证这个方程是一元二次方程,其次保证一元二次方程有实数根.,例,设,x,1,、,x,2,是一元二次方程2,x,2,+4,x,=3的两根,利用根与系数的关系求,下列代数式的值:,(1)(,x,1,+1)(,x,2,+1);(2),x,2,+,x,1,;(3)(,x,1,-,x,2,),2,.,3.使用一元二次方程的根与系数的关系确定待定系数时,首先保证,4,解析,方程变形为一般形式为2,x,2,+4,x,-3=0,a,=2,b,=4,c,=-3,=,b,2,-4,ac,=4,2,-4,2,(-3)=400,方程有两个不相等的实数根.,x,1,+,x,2,=-,=-2,x,1,x,2,=-,.,(1)(,x,1,+1)(,x,2,+1)=,x,1,x,2,+(,x,1,+,x,2,)+1=-,+(-2)+1=-,.,(2),x,2,+,x,1,=,x,1,x,2,(,x,1,+,x,2,)=-,(-2)=3.,(3)(,x,1,-,x,2,),2,=,-2,x,1,x,2,+,=,+2,x,1,x,2,+,-4,x,1,x,2,=(,x,1,+,x,2,),2,-4,x,1,x,2,=(-2),2,-4,=10.,点拨,利用一元二次方程的根与系数的关系求关于,x,1,、,x,2,的代数式的,值时,关键是把所给的代数式转化为含,x,1,+,x,2,x,1,x,2,的形式,然后把,x,1,+,x,2,x,1,x,2,的值代入,即可求出所求代数式的值.,解析方程变形为一般形式为2x2+4x-3=0,的值代入,即,5,题型一利用根与系数的关系求方程的根或字母参数的值,例1,(2015江苏南京中考)已知方程,x,2,+,mx,+3=0的一个根是1,则它的另,一个根是,m,的值是,.,解析,设方程的另一个根为,x,1,则,x,1,1=3,即,x,1,=3,则-,m,=1+3,解得,m,=-4.,答案,3;-4,点拨,利用一元二次方程根与系数的关系是解决此类问题较为简单的,方法.当已知常数项的值时,要根据两根之积构建方程;当已知一次项系,数时,要根据两根之和构建方程.,题型一利用根与系数的关系求方程的根或字母参数的值解析,6,题型二利用根与系数的关系求对称式的值,例2,已知方程,x,2,+3,x,-1=0的两个实数根分别为,不解方程求下列各式,的值.,(1),2,+,2,;(2),3,+,3,;(3),+,;(4)(,-1)(,-1).,解析,是方程,x,2,+3,x,-1=0的两个实数根,+,=-3,=-1.,(1),2,+,2,=(,+,),2,-2,=(-3),2,-2,(-1)=11.,(2),3,+,3,=,(,2,+,2,)=(-1),11=-11.,(3),+,=,=,=-11.,(4)(,-1)(,-1)=,-(,+,)+1=(-1)-(-3)+1=3.,方法总结,一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0)两根的对称式一般可转化,成含,x,1,+,x,2,x,1,x,2,的形式,故根与系数之间的关系是解决两根对称式求值问,题的常用工具.,题型二利用根与系数的关系求对称式的值解析,是,7,易错点忽略,0的条件而致错,例,已知关于,x,的方程,x,2,-(,k,-1),x,+,k,+1=0的两个实数根的平方和等于4,求,实数,k,的值.,解析,设方程的两个根为,x,1,x,2,由根与系数的关系,得,x,1,+,x,2,=,k,-1,x,1,x,2,=,k,+1.,+,=4,即(,x,1,+,x,2,),2,-2,x,1,x,2,=4,(,k,-1),2,-2(,k,+1)=4,即,k,2,-4,k,-5=0,k,=5或,k,=-1.,当,k,=5时,b,2,-4,ac,=-(,k,-1),2,-4(,k,+1)=-80.,k,的值为-1.,易错警示,一元二次方程的根与系数的关系以一元二次方程有两个实,数根为前提,此题易忽略原方程有两根的条件,b,2,-4,ac,0,未将求出的,k,值,代入判别式中检验而造成错误.,易错点忽略0的条件而致错解析设方程的两个根为x,8,知识点一元二次方程的根与系数的关系,1.(2017四川绵阳中考)关于,x,的方程2,x,2,+,mx,+,n,=0的两个根是-2和1,则,n,m,的值为,(),A.-8B.8C.16D.-16,答案,C由一元二次方程的根与系数的关系得,解得,m,=2,n,=-4,故,n,m,=(-4),2,=16,故选C.,知识点一元二次方程的根与系数的关系答案C由,9,2.已知,m,和,n,是方程2,x,2,-5,x,-3=0的两根,则,+,的值等于(),A.,B.,C.-,D.-,答案,D由根与系数的关系可得,m,+,n,=-,=,mn,=,=-,+,=,=,=-,.,2.已知m和n是方程2x2-5x-3=0的两根,则+的值,10,3.(2016山东威海中考)已知,x,1,x,2,是关于,x,的方程,x,2,+,ax,-2,b,=0的两实数根,且,x,1,+,x,2,=-2,x,1,x,2,=1,则,b,a,的值是,(),A.,B.-,C.4D.-1,答案,A因为,x,1,、,x,2,是关于,x,的方程,x,2,+,ax,-2,b,=0的两实数根,所以,x,1,+,x,2,=,-,a,=-2,x,1,x,2,=-2,b,=1,解得,a,=2,b,=-,所以,b,a,=,=,故选A.,3.(2016山东威海中考)已知x1,x2是关于x的方程x2,11,1.(2013四川泸州中考)设,x,1,x,2,是方程,x,2,-3,x,-3=0的两个实数根,则,+,的,值为,(),A.5B.-5C.1D.-1,答案,B由根与系数的关系可知,x,1,+,x,2,=3,x,1,x,2,=-3,+,=,=,=,-2=,-2=-5.故选B.,1.(2013四川泸州中考)设x1,x2是方程x2-3x-3,12,2.设,a,b,是方程,x,2,-,x,-2 016=0的两个实数根,则,a,2,+2,a,+3,b,-2的值为,(),A.2 014B.2 015C.2 016D.2 017,答案,D根据题意得,a,+,b,=-,=1,把,x,=,a,代入方程,可得,a,2,-,a,-2 016=0,a,2,=,a,+2 016,a,2,+2,a,+3,b,-2=3,a,+2 016+3,b,-2=2 016+3(,a,+,b,)-2=2 016+3,1-2,=2 019-2=2 017.故选D.,3.已知,x,1,x,2,是一元二次方程,x,2,+2,ax,+,b,=0的两根,且,x,1,+,x,2,=3,x,1,x,2,=1,则,a,b,的,值分别是,(),A.,a,=-3,b,=1B.,a,=3,b,=1,C.,a,=-,b,=-1D.,a,=-,b,=1,答案,D根据题意知,x,1,+,x,2,=-2,a,x,1,x,2,=,b,所以-2,a,=3,b,=1,解得,a,=-,b,=1.,2.设a,b是方程x2-x-2 016=0的两个实数根,则a,13,4.以3、-2为根,且二次项系数为1的一元二次方程是,.,答案,x,2,-,x,-6=0,解析,根据题意得两根之和为1,两根之积为-6,则所求方程为,x,2,-,x,-6=0.,5.设,、,是方程2,x,2,-6,x,+3=0的两个实数根,那么,+,-,的值为,.,答案,解析,是方程2,x,2,-6,x,+3=0的两个实数根,+,=3,=,+,-,=,3-,=,.,4.以3、-2为根,且二次项系数为1的一元二次方程是,14,1.方程,x,2,-7,x,+5=0的两根之差为,(),A.,B.,C.-,D.以上都不对,答案,B,=(-7),2,-4,1,5=290,原方程有两个不等的实数根.设两根,为,x,1,x,2,则,x,1,+,x,2,=7,x,1,x,2,=5,|,x,1,-,x,2,|=,=,=,=,=,x,1,-,x,2,=,.,1.方程x2-7x+5=0的两根之差为()答案,15,2.(2017四川内江中考)设,是方程(,x,+1)(,x,-4)=-5的两实数根,则,+,=,.,答案,47,解析,由(,x,+1)(,x,-4)=-5得,x,2,-3,x,+1=0,由根与系数的关系,得,+,=3,=1.,+,=,=,=,=,=47.,2.(2017四川内江中考)设,是方程(x+1)(x-4,16,3.设,m,n,是方程,x,2,-,x,-2 012=0的两个实数根,则,m,2,+,n,的值为,.,答案,2 013,解析,m,n,是方程,x,2,-,x,-2 012=0的两个实数根,m,+,n,=1,m,2,-,m,-2 012=0,即,m,2,=,m,+2 012.,m,2,+,n,=,m,+,n,+2 012=1+2 012=2 013.,3.设m,n是方程x2-x-2 012=0的两个实数根,则m,17,4.设,x,1,x,2,是方程3,x,2,-2,x,-2=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式,的值:,(1)(,x,1,-4)(,x,2,-4);,(2),+,;,(3),.,解析,根据题意知,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=-,.,(1)(,x,1,-4)(,x,2,-4)=,x,1,x,2,-4(,x,1,+,x,2,)+16=-,-4,+16=,.,(2),+,=,(,x,2,+,x,1,)=,=-,.,(3),=,x,1,x,2,+,+,+,=-,+,-,=-,.,4.设x1,x2是方程3x2-2x-2=0的两个根,利用根与,18,1.(2016广东广州中考)定义新运算:,a,b,=,a,(1-,b,),若,a,b,是方程,x,2,-,x,+,m,=0,(,m,1)的两根,则,b,b,-,a,a,的值为,(),A.0B.1C.2D.与,m,有关,答案,A,a,b,是方程,x,2,-,x,+,m,=0(,m,1)的两根,a,+,b,=1,由定义的新运,算可得,b,b,-,a,a,=,b,(1-,b,)-,a,(1-,a,)=,b,-,b,2,-,a,+,a,2,=,a,2,-,b,2,-(,a,-,b,)=(,a,-,b,)(,a,+,b,-1)=(,a,-