单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,波利亚的解题理论,1,波利亚的解题理论1,数学解题教学,没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得我们探究的地方。,美G.波利亚,2,数学解题教学 没有一道题可以解决得十全十,中国特色的数学解题研究,搞好数学解题教学，需要掌握一定的解题理论，进行解题研究，掌握一定的解题技能，了解解题研究的最新进展。,我国的数学解题研究，主要是从学习、研究波利亚的解题思想开始的,20世纪80年代初，波利亚的系列名著怎样解题、数学的发现（一、二）、数学与猜想翻译并引进国内。,他的“怎样解题表”和名言“掌握数学就意味着善于解题”、“中学数学教学首要任务就是加强解题训练”等迅速风靡全国；,3,中国特色的数学解题研究3,朱华伟,单墫,戴再平,数学解题策略,北京：科学出版社,2009.8.,解题研究M.南京：南京师范大学出版社，2002.6,数学习题理论M.上海：上海教育出版社，1991.3；1996.10.,我国数学解题研究的代表人物和代表作,罗增儒,中学数学解题的理论与实践M.南宁：广西教育出版社，2008年.9；前言,数学解题学引论M 西安.陕西师范大学出版社，1997.6,4,朱华伟单墫戴再平数学解题策略解题研究M.南京：南,波利亚的数学教育思想概述,波利亚(George Polya)数学教育思想的核心问题:,数学教育的目的是什么？,1.波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一般素养:首先和主要的目标应当是教会青年思考.,2.教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点?对数学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用.,波利亚怎样解题表简介,5,波利亚的数学教育思想概述 波利亚(Geo,问题解决,波利亚充分肯定解题的一般教育价值,把教会学生解题看做是教会学生思考,培养他们独立探索的一条有效途径.,6,问题解决6,数学学习的原则,主动学习原则,最佳动机原则,阶段序进原则,7,数学学习的原则主动学习原则7,对教师的要求,1.要对所讲的课题有兴趣;,2.要懂得所讲的课题;,3.要懂得学习的途径发现;,4,.要观察学生的脸色,弄清他们的期望和困难,置身于他们之中;,5.不仅要传授知识,而且要教给学生才智,思维的方式和工作习惯;,6.要让他们学习猜测;,7.要让他们学习证明;,8.要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征;,9.不要立即吐露你的全部秘密让学生在你说出来之前先去猜,尽量让他们自己找出来;,10.要建议,不要强迫别人去接受.,8,对教师的要求1.要对所讲的课题有兴趣;8,如何解题,1.积累认识的资源,2.掌握转化的方法,3.及时调控的能力,4.良好信念系统的支持,9,如何解题1.积累认识的资源9,解题过程分为以下四个阶段:,1.弄,清问题,2.拟订计划,3.实现计划,4.回顾,波,利,亚,的,怎样,解题,表,10,解题过程分为以下四个阶段:波利亚的怎样解题表10,1 弄清问题,（1）未知数是什么,?,已知数据是什么？条件是什么,?,满足条件是否可能,?,要确定未知数,条件是否充分,?,或者它是否不充分,?,或者是多余的,?,或者是矛盾的,?,（2）画张图,并引入适当的符号.,（3）把条件的各部分分开,并把它们写下来.,波利亚的怎样解题表,11,1 弄清问题波利亚的怎样解题表11,2.拟订计划,考虑以前是否见过它?是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道一个可能用得上的定理?,考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.,能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素?,能否用不同的方法重新叙述它?,回到定义去.,如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.,是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?,12,2.拟订计划考虑以前是否见过它?是否见过相同的问题而形式,实现你的求解计划,检验每一步骤.,你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?,3.实现计划,13,实现你的求解计划,检验每一步骤.3.实现计划13,能否检验这个论证?,你能否用别的方法导出结果?,能不能一下子看出它来?,能不能把这结果或方法用于其他问题?,4.回顾,14,能否检验这个论证?4.回顾14,例,在ABC中，A、B、C的对边分别是,a,、,b,、,c,且,c,=10，cosA/cosB=,b,/,c,=4/3，点P为ABC内切圆上的一个动点求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值和最大值,15,例 在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c,解题过程：,第1弄清问题,条件(已知)：,(1),c,=10；,(2),cosA/cosB=,b,/,a,=4/3,；,(3)点P为ABC内切圆上的动点,问题(未知)：,求点P到顶点,A、B,、,C,的距离的平方和的最小值和最大值,16,解题过程：16,第2拟订计划,回忆原来有没有见过同类问题(没有)，但见过相关的问题：,(1)已知三角形的某些边角关系，判断三角形的形状、解三角形等(知三求一，已知的三个边角元素中至少有一个是边)，题目基本符合,(2)如果三角形可以确定，那么此题就是求这个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶点的距离的平方和的最值问题,17,第2拟订计划17,第4 回顾,（1）在方法上，本题是使用“解析法”解决三角问题的一个成功案例.,（2）在数学思想上，本题是数形结合数学思想的一个成功应用.,（3）在基础知识的使用上，本题主要用到了“余弦定理”、“勾股定理”、“参数方程”和“三角函数的性质”等.,18,第4 回顾18,波利亚解题过程的四个阶段:,1.弄清问题,认识、并对问题进行表征的过程，是成功解决问题的一个必要前提,2.拟订计划,是探索解题思路的发现过程，,是关键环节和核心内容。,3.实现计划,是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”,4.回顾,是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作。为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做,法,.,19,波利亚解题过程的四个阶段:19,值得注意的四个方面,(1)只要学生按照这个过程去寻找解法，久而久之，不仅可以提高解题能力，而且还可以养成规范的思维习惯并不是所有的题目都要像表中那样“面面俱到”,(2)解题教学中，在教给学生学习方法和解题方法的同时，应重视拓宽学生的认知面，经历探索，温故知新，体会数学的应用价值，形成创新技能,(3)解题教学时，要关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成,(4)正确理解解题的内涵，谨防将解题异化为“题海战术”,20,值得注意的四个方面20,