单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/11/21,#,4,.,4,.,3,不同函数增长的差异,4.4.3不同函数增长的差异,1,课标阐释,思维脉络,1,.,通过作图,借助数学软件体会并了解指数函数、幂函数、对数函数的增长特性,.,(,数据分析、直观想象,),2,.,掌握幂函数与对数函数、幂函数与指数函数的增长差异,并能解决相关问题,.,(,逻辑推理,),3,.,能正确地选择函数模型解决实际问题,.,(,数学建模,),课标阐释思维脉络1.通过作图,借助数学软件体会并了解指数函数,2,激趣诱思,知识点拨,一家世界,500,强公司曾经出过类似这样的一道面试题,:,现在有一套房子,价格,200,万元,假设房价每年上涨,10%,某人每年固定能一共攒下,40,万元,如果他想买这套房子,在不贷款,收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子,?,A.5,年,B.7,年,C,.,8,年,D,.,9,年,E,.,永远买不起,房子的价格逐年构成什么样的函数,?,这个人的逐年收入构成什么函数,?,你能给出这道题的答案吗,?,为什么,?,激趣诱思知识点拨一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面,3,激趣诱思,知识点拨,知识点、三种常见函数模型的增长速度比较,函数,性质,y=a,x,(a1),y=log,a,x(a1),y=kx(k0),在,(0,+),上,的增减性,增函数,增函数,增函数,图象的变化,随,x,的增大逐,渐变,“,陡,”,随,x,的增大逐渐,趋于稳定,增长速度不变,形象描述,指数爆炸,对数增长,直线上升,增长速度,y=a,x,(a1),的增长速度最终会大大超过,y=kx(k0),的增长速度,;,总存在一个,x,0,当,xx,0,时,恒有,log,a,xx,0,时,有,a,x,kxlog,a,x,激趣诱思知识点拨知识点、三种常见函数模型的增长速度比较,4,激趣诱思,知识点拨,名师点析,1,.,对数函数,y=,log,b,x,(,b,1),在区间,(0,+,),上,随着,x,的增长,增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与,x,轴平行一样,尽管在,x,的一定变化范围内,log,b,x,可能会大于,x,c,但是由于,log,b,x,的增长慢于,x,c,的增长,因此总存在一个,x,0,当,xx,0,时就会有,log,b,x,1),和幂函数,y=x,c,(,x,0,c,0),在区间,(0,+,),上,无论,c,比,a,大多少,尽管在,x,的一定变化范围内,a,x,会小于,x,c,但由于,a,x,的增长快于,x,c,的增长,因此总存在一个,x,0,当,xx,0,时,就会有,a,x,x,c,.,3,.,当底数,a,1,时,由于指数函数,y=a,x,的值增长非常快,称这种现象为,“,指数爆炸,”,.,激趣诱思知识点拨名师点析 1.对数函数y=logbx(b1,5,激趣诱思,知识点拨,微思考,存在一个,x,0,当,xx,0,时,为什么,a,x,x,n,log,a,x,(,a,1,n,0),一定成立,?,提示,:,当,a,1,n,0,时,由,y=a,x,y=x,n,y=,log,a,x,的增长速度,知存在,x,0,当,xx,0,时,三个函数的图象由上而下依次为指数、幂、对数,故一定有,a,x,x,n,log,a,x.,微判断,(1),当,x,每增加一个单位时,y,增加或减少的量为定值,则,y,是,x,的一次函数,.,(,),(2),函数,y=,log,2,x,增长的速度越来越慢,.,(,),(3),不存在一个实数,m,使得当,xm,时,1,.,1,x,x,100,.,(,),答案,:,(1),(2),(3,),激趣诱思知识点拨微思考,6,激趣诱思,知识点拨,微练习,函数,y=x,2,与函数,y=,ln,x,在区间,(0,+,),上增长较快的是,.,答案,:,y=x,2,不同函数增长的差异,-,人教,A,版高中数学必修（第一册）优秀课件,不同函数增长的差异,-,人教,A,版高中数学必修（第一册）优秀课件,激趣诱思知识点拨微练习不同函数增长的差异-人教A版高中数学必,7,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,几种函数模型增长的差异,例,1,(1),下列函数中,增长速度最快的是,(,),A.,y=,2 021,x,B.,y=x,2 021,C.,y=,log,2 021,x,D.,y=,2 021,x,(2),四个自变量,y,1,y,2,y,3,y,4,随变量,x,变化的数据如下表,:,则关于,x,呈指数型函数变化的变量是,.,x,1,5,10,15,20,25,30,y,1,2,26,101,226,401,626,901,y,2,2,32,1,024,32,768,1,.,05,10,6,3,.,36,10,7,1,.,07,10,9,y,3,2,10,20,30,40,50,60,y,4,2,4,.,322,5,.,322,5,.,907,6,.,322,6,.,644,6,.,907,不同函数增长的差异,-,人教,A,版高中数学必修（第一册）优秀课件,不同函数增长的差异,-,人教,A,版高中数学必修（第一册）优秀课件,探究一探究二探究三素养形成当堂检测几种函数模型增长的差异x1,8,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,解析,:,(1),比较指数函数、幂函数、对数函数和一次函数的图象,指数函数增长最快,.,(2),以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化,.,从表格中可以看出,四个变量,y,1,y,2,y,3,y,4,均是从,2,开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量,y,2,的增长速度最快,画出它们的图象,(,图略,),可知变量,y,2,关于,x,呈指数型函数变化,.,答案,:,(1)A,(2),y,2,不同函数增长的差异,-,人教,A,版高中数学必修（第一册）优秀课件,不同函数增长的差异,-,人教,A,版高中数学必修（第一册）优秀课件,探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(1)比较指数函数、,9,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,反思感悟,常见的函数模型及增长特点,(1),线性函数模型,:,线性函数模型,y=kx+b,(,k,0),的增长特点是直线上升,其增长速度不变,.,(2),指数函数模型,:,能用指数型函数,f,(,x,),=ab,x,+c,(,a,b,c,为常数,a,0,b,1),表达的函数模型,其增长特点是随着自变量,x,的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为,“,指数爆炸,”,.,(3),对数函数模型,:,能用对数型函数,f,(,x,),=m,log,a,x,十,n,(,m,n,a,为常数,m,0,x,0,a,1),表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着,x,的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为,“,蜗牛式增长,”,.,(4),幂函数模型,:,能用幂型函数,f,(,x,),=ax,+b,(,a,b,为常数,a,0,1),表达的函数模型,其增长情况由,a,和,的取值确定,.,不同函数增长的差异,-,人教,A,版高中数学必修（第一册）优秀课件,不同函数增长的差异,-,人教,A,版高中数学必修（第一册）优秀课件,探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 常见的函数模型,10,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,变式训练,1,下列函数中随,x,的增大而增长速度最快的是,(,),B.,y=,100ln,x,C.,y=x,100,D.,y=,1002,x,解析,:,指数函数,y=a,x,在,a,1,时呈爆炸式增长,并且,a,值越大,增长速度越快,.,答案,:,A,不同函数增长的差异,-,人教,A,版高中数学必修（第一册）优秀课件,不同函数增长的差异,-,人教,A,版高中数学必修（第一册）优秀课件,探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1下列函数中随x的,11,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,指数函数、对数函数与幂函数模型比较,例,2,已知函数,f,(,x,),=,2,x,和,g,(,x,),=x,3,的图象如图,设两个函数的图象相交于点,A,(,x,1,y,1,),和,B,(,x,2,y,2,),且,x,1,x,2,.,(1),请指出图中曲线,C,1,C,2,分别对应哪一个函数,;,(2),若,x,1,a,a+,1,x,2,b,b+,1,且,a,b,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,指出,a,b,的值,并说明理由,.,分析,(1),由指数函数和幂函数不同的增长速度可判断曲线所对应的函数,;(2),通过计算比较函数值的大小关系,求出,a,b,的值,.,不同函数增长的差异,-,人教,A,版高中数学必修（第一册）优秀课件,不同函数增长的差异,-,人教,A,版高中数学必修（第一册）优秀课件,探究一探究二探究三素养形成当堂检测指数函数、对数函数与幂函数,12,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,解,:,(1),根据指数函数与幂函数的增长速度知,:,C,1,对应函数,g,(,x,),=x,3,C,2,对应函数,f,(,x,),=,2,x,.,(2),依题意知,x,1,和,x,2,是使两个函数的函数值相等的自变量,x,的值,.,当,xx,3,即,f,(,x,),g,(,x,);,当,x,1,xx,2,时,f,(,x,),x,2,时,f,(,x,),g,(,x,),.,因为,f,(1),=,2,g,(1),=,1,f,(2),=,2,2,=,4,g,(2),=,2,3,=,8,所以,x,1,1,2,即,a=,1,.,又因为,f,(8),=,2,8,=,256,g,(8),=,8,3,=,512,f,(8),g,(8),f,(9),=,2,9,=,512,g,(9),=,9,3,=,729,f,(9),g,(10),所以,x,2,9,10,即,b=,9,.,综上可知,a=,1,b=,9,.,不同函数增长的差异,-,人教,A,版高中数学必修（第一册）优秀课件,不同函数增长的差异,-,人教,A,版高中数学必修（第一册）优秀课件,探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)根据指数函数与幂,13,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,反思感悟,比较函数增长快慢的方法,:(1),利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢,;(2),借助函数图象,通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢,;(3),通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 比较函数增长快慢,14,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,延伸探究,在例,2,的条件下,结合函数图象,判断,f,(8),g,(8),f,(2 020),g,(2 020),的大小,.,解,:,f,(1),g,(1),f,(2),g,(2),f,(9),g,(10),1,x,1,2,9,x,2,10,.,x,1,8,x,2,.,从图象上可以看出,当,x,1,xx,2,时,f,(,x,),g,(,x,),f,(8),x,2,时,f,(,x,),g,(,x,),f,(2,020),g,(2,020),.,又,g,(2,020),g,(8),f,(2,020),g,(2,020),g,(8),f,(8),.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 在例2的条件下,15,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,不同函数模型的实际应用,1,.,增长曲线的选择,例,3,高,为,H,满缸水量为,V,0,的鱼缸的轴截面如图所示,.,现其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,.,若鱼缸水深为,h,时水的体积为,V,则函数,V=f,(,h,),的大致图象是,(,),探究一探究二探究三素养形成当堂检测不同函数模型的实际应用,16,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,解析,:,本题考查指对幂增长差异的实际应用,.,当,h=H,时,体积是,V,0,故排除