,第二章 行列式,(determinant),2.1,行列式的定义,2.2 行列式的性质,2.3 行列式的应用,一 、,克拉默(Cramer),二、矩阵求逆公式,三、矩阵的秩,第二章 行列式(determinant)2.1,2.3 行列式的应用,一 、,克拉默(Cramer)法则,设n个方程n个未知数的非齐次线性方程组为,2.3 行列式的应用一 、克拉默(Cramer),如果线性方程组,(1)的系数行列式,定理2.2,克拉默法则,且解可以表示为,那么线性方程组(1)有唯一解，,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程,组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,如果线性方程组(1)的系数行列式定理2.2 克拉默法则 且,定理2.3,如果线性方程组(1)无解或有两个不同的,解，则它的系数行列式必为零.,对于齐次线性方程组,定理2.3 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的对于,定理2.4,如果齐次线性方程组(2)的系数行列式,则齐次线性方程组(2)只有零解.,方程组,(2),是方程组（,1,）的特例，将定理,2.2,应用到方程组,(2),得到,定理2.5,如果齐次线性方程组(2),有非零解,则它,的系数行列式必为零.,有非零解.,今后可证:系数行列式,定理2.4 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式,例1,用克拉默法则解线性方程组,解,例1 用克拉默法则解线性方程组解,行列式的应用课件,行列式的应用课件,例2,问 取何值时，齐次方程组,有非零解？,解,例2 问 取何值时，齐次方程组有非零解？解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,齐次方程组有非零解，则所以,二、矩阵求逆公式,定义2.2,伴随矩阵,称为矩阵A 的,伴随矩阵,例3,二、矩阵求逆公式定义2.2 伴随矩阵称为矩阵A 的伴随矩阵,定理2.6,证明,则,定理2.6证明则,定理2.7,矩阵 可逆的充要条件是,奇异矩阵与非奇异矩阵的定义,且,推论,定理2.7 矩阵 可逆的充要条件是,例4 求下列矩阵的逆矩阵,例4 求下列矩阵的逆矩阵,解,故,解故,逆矩阵的运算性质小结,逆矩阵的运算性质小结,例6,例6,三、矩阵的秩,矩阵的秩,定义2.3,k阶子式,列,行,中任取,矩阵,在,k,k,A,位于这些行、列交叉处的,个元素，,.,阶子式,的,称为矩阵,k阶行列式，,中所处的位置次序而得的,k,A,不改变它们在,A,三、矩阵的秩矩阵的秩定义2.3 k阶子式列行中任取矩,例如,解：A的每一个元素为A的一阶子式,同理，还可取第一、第三行；第二、第三行计算出的所有二阶子式,A,的二阶子式可先选,A,的第一、第二行，,A,中含有这两行元素,的所有二阶子式为,若,A,中取三行，可得三阶子式为,由于,A,为 矩阵，所以,A,中最高阶子式为三阶子式.,例如 解：A的每一个元素为A的一阶子式同理，还可取第一、第三,则称A为满秩矩阵,则称A为满秩矩阵,例1,解,计算,A,的3阶子式，,例1解计算A的3阶子式，,如果,显然，非零行的行数为2，R(B)=2,此方法简单！,说明对A施行,的初等变换后,矩阵的秩不变,此时B与A的秩相同,如果对B再施行初等行变换,或,也不会改变B的秩,从而也不改变A的秩,如果显然，非零行的行数为2，R(B)=2此方法简单！说明对A,上例,说明:,经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变,上例说明:经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例2,解,初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,例3,解,分析：,例3解分析：,行列式的应用课件,行列式的应用课件,下面讨论矩阵秩的一些性质和公式,性质1,下面讨论矩阵秩的一些性质和公式性质1,小结：,E,性质2,小结：E性质2,例6,例6,关于矩阵秩的几个常见公式:,关于矩阵秩的几个常见公式:,