Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,第六章二次型,第一节 二次型及其矩阵表示,一、n元二次型,1、定义,的二次齐次多项式,含有n个变量,称为二次型,或记为,二、二次型的矩阵表示,、二次型,的和式表示,注,当常数项为实数时，称为实二次型；,当常数项为复数时，称为复二次型,3复数域上的元二次型,为可逆矩阵，称上述变换是可逆的或非退化的,2实数域上的元二次型,那么二次型,数域F复数域或实数域中的一组关系式,例1实数域上的元二次型,当常数项为复数时，称为复二次型,当常数项为复数时，称为复二次型,那么二次型,称为二次型f的矩阵；,称为二次型f的矩阵；,数域F复数域或实数域中的一组关系式,例1实数域上的元二次型,其中矩阵为对称矩阵.,为可逆矩阵，称上述变换是可逆的或非退化的,3复数域上的元二次型,为可逆矩阵，称上述变换是可逆的或非退化的,其中矩阵为对称矩阵.,称为二次型f的矩阵；,称为二次型f的矩阵；,其中矩阵为对称矩阵.,为可逆矩阵，称上述变换是可逆的或非退化的,那么二次型,施行非退化线性变换其结果仍为一个非退化的线性变换，,练习写出以下二次型的对称矩阵,注非退化线性变换的逆变换仍为非退化的；,第一节 二次型及其矩阵表示,当常数项为实数时，称为实二次型；,数域F复数域或实数域中的一组关系式,例1实数域上的元二次型,注非退化线性变换的逆变换仍为非退化的；,、二次型,的矩阵表示,那么二次型,其中矩阵为对称矩阵.,令,任一二次型f,三、二次型的矩阵,对称矩阵,任一对称矩阵,二次型f,一一对应,f称为对称矩阵的二次型；,称为二次型f的矩阵；,练习写出以下二次型的对称矩阵,3复数域上的元二次型,例1实数域上的元二次型,2实数域上的元二次型,解：1,2,四、非退化线性变换,为两组变量，系数在,定义：设,记作,为可逆矩阵，称上述变换是可逆的或非退化的,注非退化线性变换的逆变换仍为非退化的；延续多次,数域F复数域或实数域中的一组关系式,称为由,的线性变换。假设系数矩阵,施行非退化线性变换其结果仍为一个非退化的线性变换，,且系数矩阵等于非退化线性变换矩阵的乘积,