单击此处编辑母,版,文本样式,单击此处编辑母,版,标题样式,第八章 矩阵位移法,弯矩分配法,弯矩分配法的本质及其适用范围,弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近精确解的近似方法。,弯矩分配法的适用范围：,单独使用时，只能用于只有结点角位移而无结点线位移的结构。,弯矩分配法与位移法联合应用，可求解有结点线位移的结构。,弯矩分配法的基本概念,以图示结构为例说明，所有杆件的线刚度均为 ，杆长均为 ，不计杆件轴向变形。,根据位移法原理，原结构分解为,(,a)(b,),两种受力状态。,只有一个位移法未知量,A,结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为,分配单元,。,A,B,C,D,原结构,A,B,C,D,(a),状态,A,B,C,D,(b),状态,(a),状态：只承受外荷载，不发生节结点位移,固定状态,(b),状态：只发生结点位移，无外荷载,放松状态,相当于原结构“先固定、后放松”,11/15/2024,弯矩分配法,固定状态下，由荷载引起的杆端弯矩称为,固端弯矩,。,正负号规定：绕杆端顺时针为正。,A,B,C,D,原结构,A,B,C,D,(a),固定状态,A,B,C,D,(b),放松状态,固定状态内力分析,弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！,固端弯矩根据第,7,章位移法表,7-1,计算，其本质就是位移法,Mp,图的计算。,结点附加刚臂上的约束力矩称为,结点不平衡力矩,。,正负号规定：顺时针为正。,结点不平衡力矩的计算：根据固端弯矩，利用结点力矩平衡条件计算。,在上述正负号规定条件下,，结点不平衡力矩就是与该结点相连的所有杆件该端固端弯矩的代数和。,11/15/2024,弯矩分配法,放松状态就是原结构承受结点不平衡力矩的,反向,力矩（相当于解除约束）。,A,B,C,D,原结构,A,B,C,D,(a),固定状态,A,B,C,D,(b),放松状态,放松状态内力分析,放松状态的内力可借助,转动刚度、分配系数、传递系数,等概念计算。,转动刚度：,AB,杆件,A,端（又称近端）发生单位转角时，,A,端产生的弯矩值，称为,AB,杆,A,端的转动刚度，,记为 。,转动刚度不仅与杆件的弯曲线刚度 有关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承条件有关。,远端为固定支座：,远端为铰支座：,远端为定向滑动支座：,弯矩分配法中，结点转动在远端产生的弯矩可通过近端弯矩乘以传递系数得到。,11/15/2024,弯矩分配法,A,B,C,D,(b),放松状态,放松状态内力分析,传递系数：,AB,杆件仅,A,端发生转角时，,B,端弯矩与,A,端弯矩之比，称为从,A,到,B,的弯矩传递系数，记为 。,远端为固定支座：,远端为铰支座：,远端为定向滑动支座：,放松状态内力（分配系数）,A,A,结点力矩,A,结点力矩平衡方程：,而，,所以，,得，,从而，,称为,力矩分配系数,，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。,每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于,1,，即 。,Why?,物理含义：结点力矩平衡,11/15/2024,弯矩分配法,A,B,C,D,原结构,A,B,C,D,(a),固定状态,A,B,C,D,(b),放松状态,计算过程小结,固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。,固端弯矩,结点不平衡力弯矩,放松状态，计算分配力矩和传递力矩。,杆件转动刚度：,分配系数：,近端分配力矩：,远端传递力矩：,杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩,11/15/2024,弯矩分配法,A,B,C,D,原结构,计算过程小结,固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。,固端弯矩,结点不平衡力弯矩,放松状态，计算分配力矩和传递力矩。,杆件转动刚度：,分配系数：,近端分配力矩：,远端传递力矩：,杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩,弯矩分配法通常列表计算,结点,杆端,B,A,C,D,BA,AB,AD,AC,CA,DA,分配,传递,备注,分配力矩下划,线，以示与传,递力矩区分,11/15/2024,弯矩分配法,A,B,C,D,原结构,弯矩分配法的物理含义：,弯矩分配法实质，是在原结构上施加约束、再解除约束的过程。,结点,杆端,B,A,C,D,BA,AB,AD,AC,CA,DA,分配,传递,备注,A,B,C,D,M,图,(x,ql,2,),施加约束,(,固定,),解除约束,(,放松,),注意问题：,弯矩分配法是数值计算方法，弯矩的方向用正负号表示，故，必须牢记,正负号规定,，计算过程中切勿混淆和遗漏正负号。,结点不平衡力矩,必须反号,后才能进行分配和传递。,弯矩分配法计算步骤：,计算各杆的分配系数和传递系数。,计算荷载作用下的固端弯矩。,将结点不平衡力矩,反号,后，进行力矩分配和传递。,按叠加原理计算最终杆端弯矩。,11/15/2024,弯矩分配法,单结点弯矩分配法,【,例,1】,试用弯矩分配法作图示刚架的弯矩图。,【,解,】,计算分配系数：,A,B,D,C,杆端,BA,AB,AD,AC,CA,DA,结点,B,A,C,D,分配,传递,计算固端弯矩：,A,B,D,C,M,图,(,kNm,),4,11/15/2024,弯矩分配法,单结点弯矩分配法,【,例,2】,试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。,分配,传递,【,解,】,A,B,C,只有,B,结点,1,个分配单元。,A,B,C,M,图,(,kNm,),单结点弯矩分配法计算结果是近似解吗？,答：是精确解。,如何通过弯矩分配过程计算,B,截面的转角？,答：只有放松状态，即分配过程产生结点角位移。,C,端既无线位移又无角位移，相当于固定端，故 。,11/15/2024,弯矩分配法,单结点弯矩分配法,【,例,3】,试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。,DA,结点,杆端,B,A,C,D,BA,AB,AD,AC,CA,分配,传递,AD,杆件的处理：,A,B,C,D,D,端的链杆只产生轴力，故 。,AC,杆件的处理：,（,M,图略）,11/15/2024,弯矩分配法,单结点弯矩分配法,【,例,4】,试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。,几个分配单元？,2,个或,1,个。,法一：,B,结点和,C,结点,2,个分配单元。,(,多结点弯矩分配法后续介绍,),法二：,B,结点,1,个分配单元。（,CD,弯矩静定，原结构可简化）,A,B,C,D,A,B,C,弯矩分配法的分配单元数量与位移法的基本未知量数量是统一的。,理论上讲，弯矩分配法即适用于超静定结构，也适用于静定结构，,但具体应用中，如结构含有内力静定部分，应尽可能先简化结构，以减少计算工作量。,分配,传递,B,结点的集中外力矩如何处理？,可见，固端弯矩需改变符号后参与分配，,而作用在结点上的集中力矩无需改变符号直接参与分配。,A,B,C,B,点增加附加刚臂后，刚臂上的约束力矩，即结点不平衡力矩为,。反号后，即,作为结点分配力矩。,B,结点分配力矩为,41,20,21,（,M,图略）,11/15/2024,弯矩分配法,单结点弯矩分配法,【,例,5】,试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。,A,B,C,D,CB,结点,杆端,A,B,D,C,AB,BA,BC,BD,DB,分配,传递,B,分配单元的分配系数如何计算？,（,M,图略）,AB,杆上无荷载，不产生固端弯矩,11/15/2024,弯矩分配法,单结点弯矩分配法,【,例,6】,试用弯矩分配法作图示带刚域结点连续梁的弯矩图。,如何计算转动刚度、分配系数和传递系数？,分配,传递,（,M,图略）,A,B,C,根据转动刚度的定义，和 分别表示,B,发生单位转角时,BA,和,BC,的杆端弯矩。,A,B,C,时变形,A,B,C,时弯矩,11/15/2024,弯矩分配法,多结点弯矩分配法,【,例,1】,试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。,A,C,D,B,固定状态,固端弯矩,结点不平衡力弯矩,A,C,D,B,放松状态,两个分配单元,B,和,C,结点转角是耦合的，如同时放松，需建立并求解联立方程组。,为了避免求解联立方程，将各分配单元依次逐个放松。,放松,C(B,保持锁定状态,),此时，,C,结点力矩平衡，,B,结点不平衡力矩为,-5kNm,锁住,C,，放松,B,此时，,B,结点力矩平衡，,C,结点不平衡力矩为,1.25kNm,完成一轮分配,由于分配系数和传递系数不大于,1,且不可能全为,1,，故，经过弯矩分配和传递后，结点不平衡力矩逐渐减小。依次经过多轮分配，可使结构受力和变形逐步接近实际状态。,11/15/2024,弯矩分配法,多结点弯矩分配法,【,例,1】,试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。,A,C,D,B,上述计算过程一般通过列表进行,（固定状态）,分配,与,传递,（锁,B,放,C,）,（锁,C,放,B,）,第,1,轮分配,（锁,B,放,C,）,（锁,C,放,B,）,第,2,轮分配,（锁,B,放,C,）,（锁,C,放,B,）,第,3,轮分配,多结点弯矩分配法是一种渐近法，计算结果为近似解。,为了使计算收敛速度快，通常先从不平衡力矩较大的分配单元开始分配。,终止弯矩分配的条件一般有两种：,a,）明确分配轮次。如：要求完成两轮分配，则不管计算误差多大，两轮分配完成后即可终止计算。,b,）明确计算精度。如：计算要求保留到小数点后两位，则应计算至分配弯矩或传递弯矩小于,0.01,。注意最后一个轮次分配与传递需同时完成，不可以只分配不传递。,A,C,D,B,M,图,(,kNm,),11/15/2024,弯矩分配法,多结点弯矩分配法,【,例,1】,试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。,A,C,D,B,（固定状态）,分配,与,传递,（锁,B,放,C,）,（锁,C,放,B,）,（锁,B,放,C,）,（锁,C,放,B,）,（锁,B,放,C,）,（锁,C,放,B,）,思考题一：如何通过计算过程求,C,结点转角？,A,C,D,B,M,图,(,kNm,),思考题二：,B,支座反力为多少？,B,BC,受力对称,剪力为荷载的一半,11/15/2024,弯矩分配法,多结点弯矩分配法,【,例,2】,试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。,(,只分配两轮,),分配,与,传递,（锁,C,放,B,、,D,）,（锁,B,、,D,放,C,）,A,C,B,D,E,本结构三个分配单元：,B,、,C,、,D,锁,C,后，,B,、,D,相互之间无影响，故，可同时放松,第,1,轮,（锁,C,放,B,、,D,）,（锁,B,、,D,放,C,）,第,2,轮,A,C,B,D,E,M,图,(,kNm,),11/15/2024,弯矩分配法,多结点弯矩分配法,【,例,3】,试用弯矩分配法作算图示刚架的弯矩图。已知材料弹模,，,梁 ，柱 ，,A,支座下沉,2cm,，,D,支座下沉,8cm,。要求计算结果保留到小数点后两位。,B,E,A,C,D,分配,与,传递,结点,杆端,A,B,C,AB,BA,CB,BC,CD,CE,D,E,DC,EC,【,解,】,（,M,图略）,弯矩分配法只适用于结点无线位移的结构。当支座移动时，结点是有线位移的，为什么还可以直接用弯矩分配法计算？,E,处少了一根水平链杆,11/15/2024,弯矩分配法,弯矩分配法应用拓展,弯矩分配法,主要适用于无结点线位移的超静定结构,，因为有结点线位移时，杆件的转动刚度和传递系数一般难以确定。,对于有结点线位移的超静定结构，弯矩分配法可以从以下两个方面修正或拓展应用。,无剪力分配法,适用条件：有相对侧移的杆件剪力静定；,剪力静不定的杆件无相对侧移。,例：,柱子：有相对侧移，但剪力静定；,横梁：,剪力未知，但两端无相对侧移。,11/15/2024,弯矩分配法,弯矩分配法应用拓展,无剪力分配法,剪力静定杆考虑两端相对侧移后的转动刚度、传递系数和固端弯矩：,对,mn,柱，由位移法知：,根据静力平衡条件可得：,从而，,剪力静定杆的相对侧移与杆端转角是相关的，二者关系可以通过杆件剪力大小确定,根据转动刚度和传递系数的定义：,比较可见：,剪力静定杆的转动刚度和传递系数与一端固定一端定向滑动约束的杆件相同,固端弯矩根据剪力和反弯点位置确定,11/15/2024,弯矩分