*,*,复数代数形式的加、减运算,及其几何意义,1.,复数的加法法则,(1),设,z,1,=a+bi,z,2,=c+di,是任意两个复数，那么,(a+bi)+(c+di,)=_,(2),复数加法的运算律,对任意,z,1,，,z,2,，,z,3,C,，,z,1,+z,2,=_,(z,1,+z,2,)+z,3,=_.,(3),复数加法的几何意义,复数的加法可以按照向量的,_,来进行,.,(a+c)+(b+d)i,.,z,2,+z,1,z,1,+(z,2,+z,3,),加法,2.,复数的减法法则,设,z,1,=a+bi,，,z,2,=c+di,，则,(a+bi)-(c+di,)=_.,(a-c)+(b-d)i,1.,复数的减法法则用自然语言如何描述？,提示：,两个复数的差仍为复数，其实部为两个复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差,.,2.,类比绝对值,|x-x,0,|,的几何意义，说明,|z-z,0,|(z,z,0,C,),的几何意义,.,提示：,|z-z,0,|(z,z,0,C,),的几何意义是复平面内点,Z,到点,Z,0,的距离,.,3.,若,z,1,=-1+2i,，,z,2,=3-5i,，则,z,1,+z,2,=_,，,z,1,-z,2,=_.,【解析,】,z,1,+z,2,=(-1+2i)+(3-5i)=2-3i,，,z,1,-z,2,=(-1+2i)-(3-5i)=-4+7i.,答案：,2-3i -4+7i,4.,若,z-1=2+3i,，则,z=_.,【解析,】,因为,z-1=2+3i,，所以,z=(2+3i)+1=3+3i.,答案：,3+3i,5.,若复数,z,满足,|z-1|=1,，则复数,z,在复平面内的几何图形是,_.,【解析,】,设,z=x+yi(x,y,R,),，则,z-1=(x+yi)-1=(x-1)+yi,所,以,|z-1|=,又,|z-1|=1,，所以,(x-1),2,+y,2,=1,，所以,复数,z,在复平面内的几何图形是以,(1,0),为圆心，半径为,1,的圆,.,答案：,以,(1,0),为圆心，半径为,1,的圆,1.,对复数加、减法的理解,(1),复数的加、减法法则是在复数的代数形式下进行的,;,(2),复数的加、减法运算结果仍为复数,;,(3),实数的移项法则在复数中仍然成立,.,2.,对复数加、减法几何意义的理解,(1),复数的加、减运算可以通过向量的加、减运算进行；反之，向量的加、减运算也可以通过复数的加、减运算进行,;,(2),利用复数加、减法的几何意义可以直观地解决复数问题,.,复数的加、减法运算,【技法点拨,】,复数加、减法运算的两种方法,(1),复数的加法运算类似于多项式的合并同类项，首先正确确定各个复数的实部、虚部，再将所有实部和虚部分别求和，最后将实部和作为实部，虚部和作为虚部，写出复数的代数形式,.,注意减法要将减数的实部、虚部变为相反数进行求和,.,(2),利用复数的结合律计算,.,【典例训练,】,(,建议教师以第,1(3),，,2,，,3,题为例重点讲解,),1.,求下列复数：,(1)(-1+5i)+(2-3i),；,(2)(1+3i)-(-2-5i),；,(3)(2+3i)+(-1-i)-(-3+4i).,2.,已知复数,z,满足,z+1-3i=5-2i,，求,z.,3.,已知复数,z,满足,z,+z=1+3i,，求,z.,【解析,】,1.(1)(-1+5i)+(2-3i)=(-1+2)+(5-3)i=1+2i.,(2)(1+3i)-(-2-5i)=,1-(-2),+,3-(-5),i,=3+8i.,(3),方法一：,(2+3i)+(-1-i)-(-3+4i),=,2-1-(-3),+,3+(-1)-4,i=4-2i.,方法二：,(2+3i)+(-1-i)-(-3+4i)=,(2+3i)+(-1-i),-(-3+4i),=(1+2i)-(-3+4i)=4-2i.,2.,方法一：设,z=x+yi(x,y,R,),，因为,z+1-3i=5-2i,，所以,x+yi,+(1-3i)=5-2i,即,x+1=5,且,y-3=-2,解得,x=4,y=1,，所以,z=4+i.,方法二：因为,z+1-3i=5-2i,，所以,z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.,3.,设,z=x+yi(x,y,R,),，则,|z|=,又,|z|+z,=1+3i,，所以,+x+yi=1+3i,，由复数相等得,解得 所以,z=-4+3i.,【总结,】,怎样解简单复数方程？,提示：,简单复数方程的解法：,(1),设出复数的代数形式；,(2),将其代入方程，并化简；,(3),利用复数相等列出方程组，解方程组即可,.,|z-z,0,|(z,z,0,C,),几何意义的应用,【技法点拨,】,1.|z-z,0,|(z,z,0,C,),的几何意义,设复数,z,，,z,0,在复平面内分别对应点,A,，,B,，则,|z-z,0,|(z,z,0,C,),的几何意义是点,A,到点,B,的距离,.,2.|z-z,0,|(z,z,0,C,),几何意义的应用,(1),判断点的轨迹,；,(2),利用几何知识解决代数问题,.,【典例训练,】,(,建议教师以第,2,题为例重点讲解,),1.(2012,广州高二检测,),已知,z,0,=2+2i,，,|z-z,0,|=,当,z=_,时，,|z|,有最小值，最小值为,_.,2.,已知,z,C,，指出下列等式所表示的几何图形,.,(1)|z+1+i|=1,；,(2)|z-1|=|z+2i|,；,(3)|z+1|+|z+1-i|=2.,【解析,】,1.,因为,|z-z,0,|=,所以复数,z,所对应的点,Z,在以,C(2,2),为圆心，半径为 的圆上，由几何图形知,z,的最小值为,此时，点,Z,是线段,OC,与圆的交点，线段,OC,的,方程是,y=x(0 x2),，圆的方程是,(x-2),2,+(y-2),2,=2,，联立方,程组 解得 所以复数,z=1+i.,答案：,1+i,2.(1),表示以,C(-1,，,-1),为圆心，半径为,1,的圆,;,(2),以点,P(1,0),，,Q(0,，,-2),为端点的线段的垂直平分线,;,(3),以,F,1,(-1,0),和,F,2,(-1,1),为焦点，长轴长为,2,的椭圆,.,【互动探究,】,若将题,1,中条件“,|z-z,0,|=”,改为“,|z+z,0,|=,”,结果又如何？,【解题指南,】,解此类题目的关键是紧密联系复数的几何意义,.,【解析,】,因为,|z+z,0,|=,所以复数,z,所对应的点,Z,在以,C(-2,-2),为圆心，半径为 的圆上，由几何图形知,z,的最小值为,此时，点,Z,是线段,OC,与圆的交点，线段,OC,的方程是,y=x(-2x0),，圆的方程是,(x+2),2,+(y+2),2,=2,联立方,程组,解得,所以复数,z=-1-i,【思考,】,通过题,2(1),，你对,z-z,0,(z,z,0,C,),的应用有什么启示？,提示：,通过题,2(1),的解答，得到的启示是当已知条件不是,|z-z,0,|,的结构时，应先将其转化为这种结构再解答，即将,|z+z,0,|,转化为,|z-(-z,0,)|.,【易错误区,】,复数运算的应用误区,【典例】复数,z,1,cos,i,，,z,2,sin,i,，则,|z,1,z,2,|,的最大值为,(),(A)(B)(C)6 (D),【解题指导,】,【解析,】,选,D.|z,1,-z,2,|,|(cos,sin,),2i|,【阅卷人点拨,】,通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：,(,注：此处的,见解析过程,),常,见,错,误,选,C,解答本题易将,处错写为,(cos,-sin,),2,+4,，而导致错选,C.,选,A,本题解到,处就停止化简，把,sin,cos,的范围理解为,-1,sin,cos,1,，而导致错选,A.,解,题,启,示,(1),准确把握公式结构，做到熟练运用公式,.,(2),正确运用数学性质，准确把握数学性质的条件，不能想当然地得出结论,.,【即时训练,】,复数,z,1,=1+icos,z,2,=sin-i,，则,|z,1,-z,2,|,的最大值为,(),(A)3-2 (B)(C)3+2 (D),【解析,】,选,D.|z,1,-z,2,|=|(1+icos)-(sin-i)|,