单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章,留数理论及其应用,第五章 留数理论及其应用,1,1.留数的定义,2.留数定理,3.留数的计算规则,5.1,留数(Residue),1.留数的定义5.1 留数(Residue),2,的奇点,所围成的区域内含有,),(,z,f,C,0,z,一、留数的引入,设C为区域D内,包含,的任一条正向简单闭曲线,),(,f,dz,z,c,未必为,0,0,z,所围成的区域内解析,在,),(,C,f,=,.,的某去心邻域:,D,内的Laurent展式:,在,的奇点所围成的区域内含有)(zfC0z一、留数的引入设C为区,3,0,(,P49例3.3,),0,(柯西-古萨基本定理),0(P49例3.3)0(柯西-古萨基本定理),4,定义,设,z,0,为,f,(,z,)的孤立奇点，,f,(,z,)在,z,0,去心邻域内的罗朗级数中负幂次项(,z,-,z,0,),1,的系数,c,1,称为,f,(,z,)在,z,0,的,留数,，记作,Res,f,(,z,),z,0,。,由留数定义,Res,f,(,z,),z,0,=,c,1,(1),综上,，,的系数,-,0,1,),(,-,z,z,展式中负幂项,Laurent,定义设 z0 为 f(z)的孤立奇点，f(z)在,5,记作,为,f(z),在 的,。,定义,留数,注,记作为 f(z)在 的。定义留数,注,6,二、利用留数求积分,1.,留数定理,设函数,f(z),在区域,D,内除有限个孤立奇点,z,1,z,2,.,z,n,外处处解析.,C,是,D,内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则,D,z,1,z,2,z,3,z,n,C,1,C,2,C,3,C,n,C,二、利用留数求积分1.留数定理 设函数 f(z)在区域D,7,证明,两边同时除以 得，,如图,由复合闭路原理,求沿闭曲线,C,积分,求,C,内各孤立奇点处的留数.,注1,证明两边同时除以 得，如图,由复合闭路原理求沿闭曲线,8,(1)如果,为,的,可去奇点,一般规则说明,：,2.留数的计算规则,成Laurent级数求,(2)如果,为,的,本性奇点,展开,则需将,(3)如果,为,的,极点,则有如下计算方法：,1)应用,Laurent,展式,2)求n级极点的一般方法(求导运算),(1)如果为的可去奇点,一般规则说明：2.留数的计算规,9,1)应用,Laurent,展式,例5.1,解,1)应用Laurent展式例5.1解,10,如果 为 的 级极点,规则2,那末,如果 为 的一级极点,那末,规则1,2)求n级极点的一般方法,（当,m,=1时就是,规则1),如果 为 的 级极点,规则2那,11,规则3,如果,设,及,在,都解析，,那末,为,的一级极点,且有,解,例2,规则3 如果设及在都解析，那末为的一级极点,且有解例2,12,例3,解,例3解,13,例2,解,例2解,14,思考题,思考题答案,思考题思考题答案,15,例3,解,例3解,16,例4,解,例4解,17,故由留数定理得：,故由留数定理得：,18,(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留,数，不要死套规则。,如,是,f,(,z,)的三级极点,。,(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留如是f(z)的三,19,-该方法较规则2更简单！,-该方法较规则2更简单！,20,(2)由规则2 的推导过程知，在使用规则2,时，可将,m,取得比实际级数高，这可使计算更,简单。,如,(2)由规则2 的推导过程知，在使用规则2如,21,注意积分路线取顺时针方向,三、在无穷远点的留数,说明,记作,1.,定义,设函数,在圆环域,内解析，,C,为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，,=,p,-,C,z,z,f,i,d,),(,2,1,注意积分路线取顺时针方向三、在无穷远点的留数说明记作1.定义,22,.,.,.,.,.,.,.,证,由留数定义有:,(绕原点的并将,内部的正向简单闭曲线),包含在,2.,定理,如果函数,在扩充复平面内只有有限个,孤立奇点,那末,在所有各奇点,(,包括,点,),的留数的总和必等于零,.,证毕,.证由留数定义有:(绕原点的并将内部的正向简单闭,23,说明,:由定理得,(留数定理),计算积分,计算无穷远点的留数.,优点,:使计算积分进一步得到简化.,(避免了计算诸有限点处的留数),说明:由定理得(留数定理)计算积分计算无穷远点的留数.优,24,3.,在无穷远点处留数的计算,规则4,说明,:定理5.2和规则4提供了,计算函数沿闭曲线,积分的又一种方法:,此法在很多情况下此法更为简单.,3.在无穷远点处留数的计算规则4说明:定理5.2和规则4,25,现取正向简单闭曲线,C,为半径足够大的,正向圆周:,于是有,证,现取正向简单闭曲线C为半径足够大的正向圆周:于是有证,26,内除,在,外无其他奇点.,证毕,内除在外无其他奇点.证毕,27,例,5,计算积分,C,为正向圆周:,函数,在,的外部,除,点外没有,其他奇点.,解,根据定理 5.2与规则4:,例5 计算积分C为正向圆周:函数在的外部,除点外没有,28,与以下解法作比较:,被积函数,有四个一级极点,都,在圆周,的内部,所以,由规则3,与以下解法作比较:被积函数有四个一级极点都在圆周的内部,29,可见,利用无穷远点的留数更简单.,例,6,计算积分,C,为正向圆周:,解,除,被积函数,点外,其他奇点为,可见,利用无穷远点的留数更简单.例6 计算积分C为正,30,由于,与,1在,C,的内部,则,所以,由于与1在C的内部,则所以,31,小结与思考,一概念,-留数,一定理,-留数定理（,计算闭路复积分）（,重点,）,两方法,-展开式和规则求留数,三规则,-求极点处留数,（,难点,）,小结与思考一概念-留数,32,五、小结与思考,本节我们学习了留数的概念、计算以及留数,定理.应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极,点处留数的求法,并会应用留数定理计算闭路复,积分.,五、小结与思考 本节我们学习了留数的概念、计算以,33,5.2 留数在定积分中的应用,其中,注意:,对 的要求,分母,Q(x),次数比分子,P(x),至少高两次，是函数 在,上半平面,内的有限个孤立奇点；,注意:,对 的要求,分母比分子至少高一次，是函数 在,上半平面,内的有限个孤立奇点；,5.2 留数在定积分中的应用其中 注意:对,34,思想方法,:,封闭路线的积分,.,两个重要工作:,1),积分区域的转化,2),被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,注意：其中 是函数 在,单位圆,内的有限个孤立奇点。,思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积分区域的,35,形如,当,历经变程,时,的,正方向绕行一周.,z,沿单位圆周,形如当历经变程时,的正方向绕行一周.z 沿单位圆周,36,z,的有理函数,且在,单位圆周上分母不,为零,满足留数定,理的条件.,包围在单位圆周,内的诸孤立奇点.,z的有理函数,且在包围在单位圆周,37,例,5.1 计算积分,分析,因,在实轴上有一级极点,应使封闭路,线不经过奇点,所以可取图示路线:,例5.1 计算积分分析 因在实轴上有一级极点应使封闭路线,38,解,封闭曲线,C,:,由柯西-古萨定理得:,由,解 封闭曲线C:由柯西-古萨定理得:由,39,复变函数与积分变换第五章课件,40,当 充分小时,总有,当 充分小时,总有,41,即,即,42,记住以下常用结果：,记住以下常用结果：,43,作 业,P120,2；5,（1）(2),3,作 业P120 2；5（1）(2),3,44,