单击此处编辑母版标题样式,*,湘潭大学数学与计算科学学院,*,上一页,下一页,返回首页,1.4.1 复合函数的求导法则,一、一元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的求导法则,三、小结,1.4 函数的求导法则,1,湘潭大学数学与计算科学学院,1.4.1 复合函数的求导法则 一、一元复合函数求导的链式,定理,即,因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(,链式法则,),一、一元复合函数的求导法则,2,湘潭大学数学与计算科学学院,定理即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘,证,3,湘潭大学数学与计算科学学院,证3湘潭大学数学与计算科学学院,例如,关键:,搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广,：,此法则可推广到多个中间变量的情形.,4,湘潭大学数学与计算科学学院,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此,例,1,解,例,2,解,5,湘潭大学数学与计算科学学院,例1解例2解5湘潭大学数学与计算科学学院,例,3,解,例,4,解,6,湘潭大学数学与计算科学学院,例3解例4解6湘潭大学数学与计算科学学院,解,(1),(2),例4,利用链式法则,求下列导数:,7,湘潭大学数学与计算科学学院,解 (1)(2)例4 利用链式法则求下列导数:7湘潭大,求,解,思考,:,若,存在,如何求,的导数?,这两个记号含义不同,例5,设,8,湘潭大学数学与计算科学学院,求解 思考:若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同例,二、多元复合函数的求导法则,这个复合过程，,1.,下面先讨论中间变量是一元函数的情况,可以形象的用,一条链,来描述：,9,湘潭大学数学与计算科学学院,二、多元复合函数的求导法则这个复合过程，1.下面先讨论,证,10,湘潭大学数学与计算科学学院,证10湘潭大学数学与计算科学学院,11,湘潭大学数学与计算科学学院,11湘潭大学数学与计算科学学院,定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为,全导数.,12,湘潭大学数学与计算科学学院,定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如 以上公式中的,这个复合过程，,可以形象的用,一条链,来描述：,2.,下面讨论中间变量是多元函数的情况,13,湘潭大学数学与计算科学学院,这个复合过程，可以形象的用一条链来描述：2.下面讨论中间变,14,湘潭大学数学与计算科学学院,14湘潭大学数学与计算科学学院,链式法则如图示,15,湘潭大学数学与计算科学学院,链式法则如图示15湘潭大学数学与计算科学学院,类似地再推广，设,都在点,(,x,y,)具有对,x,和,y,的偏导数，复合函数,在点,(,x,y,)的两个偏导数存在，并且有,16,湘潭大学数学与计算科学学院,类似地再推广，设 都在点(x,y)具有对x和y的偏导数，复,若,其中,则复合函数,对,x,的偏导数,式中左边的,与右边的,一样吗?,17,湘潭大学数学与计算科学学院,若其中则复合函数对x的偏导数式中左边的与右边的一样吗?17湘,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,18,湘潭大学数学与计算科学学院,特殊地即令其中两者的区别区别类似18湘潭大学数学与计算科学学,解,19,湘潭大学数学与计算科学学院,解19湘潭大学数学与计算科学学院,解,20,湘潭大学数学与计算科学学院,解20湘潭大学数学与计算科学学院,解,令,记,同理有,21,湘潭大学数学与计算科学学院,解令记同理有21湘潭大学数学与计算科学学院,于是,22,湘潭大学数学与计算科学学院,于是22湘潭大学数学与计算科学学院,链式法则的记忆口诀:,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导.,23,湘潭大学数学与计算科学学院,链式法则的记忆口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,例9,设,解,设,24,湘潭大学数学与计算科学学院,例9 设解 设24湘潭大学数学与计算科学学院,例10,设,解,25,湘潭大学数学与计算科学学院,例10 设解25湘潭大学数学与计算科学学院,无论,z,是自变量,u,、,v,的函数或中间变量,u,、,v,的函数，它的全微分形式是一样的.,全微分形式不变性,全微分形式不变形的实质：,26,湘潭大学数学与计算科学学院,无论z是自变量u、v 的函数或中间变量u、v 的函数，它的,27,湘潭大学数学与计算科学学院,27湘潭大学数学与计算科学学院,解,28,湘潭大学数学与计算科学学院,解28湘潭大学数学与计算科学学院,1,、链式法则（分三种情况）,2,、全微分形式不变性,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,（理解其实质）,三、小结,29,湘潭大学数学与计算科学学院,1、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不变性（特别要注意课,思考题：,1.,已知,求,解,由,两边对,x,求导,得,30,湘潭大学数学与计算科学学院,思考题：1.已知求解 由两边对 x 求导,得30湘,求,在点,处可微,且,设函数,解,由题设,(2001考研),2.,31,湘潭大学数学与计算科学学院,求在点处可微,且设函数解 由题设(2001考研)2.3,32,湘潭大学数学与计算科学学院,32湘潭大学数学与计算科学学院,作业,习题1.4,P,59-61,A 组,1 (1)、(3)、(4)，2 (2)、(4),3 (1)、(3),5,B 组,1，2，,3,33,湘潭大学数学与计算科学学院,作业习题1.4 33湘潭大学数学与计算科学学院,