单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020年1月24日星期五,#,蚌埠学院 高等数学,14 十一月 2024,1,一、无穷小的性质,定理有限个无穷小的和仍是无穷小。,证：,故,注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小,。,如：,14 十一月 2024,2,定理 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小。,证明：,g(x),有界，故存在,M,，使,对于,当,故当,设,g(,x,),在某定义域内有界，,推论,:,（）常量与无穷小的积仍是无穷小；,（）有限个无穷小量的积仍是无穷小。,14 十一月 2024,3,例,1.,求,解,:,利用定理,2,可知,说明,:,y,=0,是,如：,的一条水平渐近,线,14 十一月 2024,4,二、极限的四则运算法则,则有,证,:,因,则有,(,其中,为无穷小,),于是,由定理,1,可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理,知定理结论成立,.,定理,3,.,若,14 十一月 2024,5,推论,:,若,且,则,(P45,定理,5),利用保号性定理证明,.,说明,:,定理,3,可推广到有限个函数相加、减的情形,.,提示,:,令,14 十一月 2024,6,定理,4.,若,则有,提示,:,利用极限与无穷小关系定理及本节定理,2,证明,.,说明,:,定理,4,可推广到有限个函数相乘的情形,.,推论,1.,(,C,为常数,),推论,2.,(,n,为正整数,),例,2.,设,n,次多项式,试证,证,:,14 十一月 2024,7,为无穷小,(,详见,P44),定理,5,.,若,且,B,0,则有,证,:,因,有,其中,设,无穷小,有界,因此,由极限与无穷小关系定理得,为无穷小,14 十一月 2024,8,定理,6,.,若,则有,提示,:,因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由,定理,3,4,5,直接得出结论,.,14 十一月 2024,9,注,2,：对法则，,b,不为；法则、只,适用于有限个函数。,注：在同一变化趋势下，极限都要,在，否则不能用上述法则。,则 一定不存在；,注,3,：若,其中只有一个存在，,则 不一定不存在；,注,4,：若 ，两个极限都不存在，,比如：,14 十一月 2024,10,三、求极限举例,例,1,例,2,解 原式,解 原式,14 十一月 2024,11,x,=3,时分母为,0,结论：,设分式函数,其中,都是,多,项式,若,则,:,说明,:,若,不能直接用商的运算法则,.,例,3.,注,：,当,f,(,x,),为初等函数时，,x,0,为定义域内的点，则,14 十一月 2024,12,例,4.,求,解,:,x,=1,时,分母,=0,分子,0,但因,14 十一月 2024,13,例,5,.,求,解,:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“,抓大头,”,原式,14 十一月 2024,14,一般有如下结果：,为非负常数,),(,如,P47,例,5),(,如,P47,例,6),(,如,P47,例,7),14 十一月 2024,15,复合函数的极限运算法则,定理,7.,设,且,x,满足,时,又,则有,证,:,当,时,有,当,时,有,对上述,取,则当,时,故,因此,式成立,.,14 十一月 2024,16,定理,7,.,设,且,x,满足,时,又,则有,说明,:,若定理中,则类似可得,14 十一月 2024,17,例,6.,求,解,:,令,已知,(,见,P46,例,3),原式,=,(,见,P33,例,5),14 十一月 2024,18,例,7.,求,解,:,方法,1,则,令,原式,方法,2,14 十一月 2024,19,另例（,1,）,（,2,）,=0,注：,sin,x,有界。,14 十一月 2024,20,另例,解,先变形再求极限,.,注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小,。,另例,14 十一月 2024,21,四、小结与思考练习题,极限求法：,(1),多项式与分式函数代入法求极限,;,(2),消去零因子法求极限,;,（,0/0,型）,（因式分解、有理化）,(3),利用无穷小运算性质求极限,;,(4),利用通分方法求极限,;,（,-,型）,(5),分子分母同除最大项。（,/,型）,14 十一月 2024,22,思考及练习,1,.,是否存在,?,为什么,?,答,:,不存在,.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾,.,问,作业：,P48 1,（,1,、,3,、,8,、,12,）、,2,（,1,）、,3,（,1,）,