单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,流体经过,t,时间势能变化量：,t,时间内外力对该段流体做功：,由功能原理,：,或,即,上式即为,伯努利方程,的数学表达式。,S,1,S,2,t,t,P,1,P,2,h,1,h,2,二、伯努利方程的意义,（,1,）伯努利方程的实质是,功能原理,在流体力学中的应用,表示单位体积流体流过细流管 外压力所做的功；,表示单位体积流体流过细流管 重力所做的功；,表示单位体积流体流过细流管 后动能的变化量；,（,2,）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理：,（,3,）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。,（,4,）,P,、,h,、,v,均为可测量，他们是对同一流管而言的。,（,5,）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，,P,、,h,、,v,之间的关系。,如图所示，且,S,B,S,A,，以,A,、,B,两点为参考点，,由,选取,h,B,处为参考点，其,h,B,=0,h,A,=,h,得,三、伯努利方程的应用,小孔流速,由伯努利方程：,0,=,B,A,B,A,v,S,S,v,可知，,因,P,A,=,P,0,P,B,=,P,0,所以,即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落到小孔处的流速大小相等。,S,A,S,B,-,托里拆利公式,左图是利用,虹吸管,从水库引水的示意图。,虹吸管粗细均匀，选取,A,、,C,作为参考点。,虹吸管,水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理可知 ，所以此例,实质为小孔流速问题,如果,h,A,h,B,0,，管内流速没有意义。如果管口比水库面高，在没有外界帮助下这种定常流动是不可能实现的。,喷雾原理,因,S,A,很小，,v,A,增大使,P,A,小于大气压，容器内流体上升到,A,处，被高速气流吹散成雾，这种现象又称为空吸现象。,A,C,B,h,A,h,B,h,c,由伯努利方程,从,U,形管中左右两边液面高度差可知,为,U,形管中液体密度，为流体密度。,皮托管,由上两式得,较适合于测定气体的流速。,常用如图示形式的皮托管测液体的流速,h,h,A,B,A,B,（测量管道中液体体积流量）,如左图所示。当理想流体在管道中作定常流动时，由伯努利方程,文丘里流量计,由连续性原理,又,管道中的流速,h,S,A,S,B,d,1,d,2,=21 ,S,1,S,2,=41,且,v,1,=1ms,-1,例,求,解,.,一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为,21,，已知粗管内水的流速为,1ms,-1,细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。,得,v,2,=4,v,1,=4 ms,-1,又由,由,S,1,v,1,=,S,2,v,2,得,水从图示的水平管道,1,中流入，并通过支管,2,和,3,流入管,4,。如管,1,中的流量为,900cm,3,s,-1,.,管,1,、,2,、,3,的截面积均为,15cm,2,管,4,的截面积为,10cm,2,假设水在管内作稳恒流动，,例,求,解,（,1,）管,2,、,3,、,4,的流量,;,（,2,）管,2,、,3,、,4,的流速,;,（,3,）管,1,、,4,中的压强差,.,1,2,3,4,v,1,v,2,v,3,v,4,(1),由连续性原理知,Q,4,=,Q,1,=900cm,3,s,-1,(3),v,1,=,Q,1,S,1,=90015=60cms,-1,由伯努利方程,S,2,=,S,3,Q,2,+,Q,3,=,Q,1,Q,2,=,Q,3,=450cm,3,s,-1,(2),v,2,=,v,3,=,Q,2,S,2,=45015=30cms,-1,v,4,=,Q,4,S,4,=90010=90 cms,-1,得,水管里的水在压强,P,=4.0,10,5,P,a,作用下流入室内，水管的内直径为,2.0 cm,，,管内水的流速为,4.0ms,-1,。,引入,5.0 m,高处二层楼浴室的水管，内直径为,1.0 cm,。,当水龙头关闭时，由伯努利方程,即,=3.5,10,5,Pa,S,1,v,1,s,2,v,2,h,2,例,求,解,浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。,当水龙头完全打开后，,=2.3,10,5,Pa,即,由伯努利方程：,打开水龙头，管口处的压强,减小,，这是水的流动导致的结果。,由连续性方程：,S,1,v,1,=,S,2,v,2,例,求,解,a,、,b,、,c,、,d,各处压强及流速。,h,1,h,2,a,b,c,d,如图所示为一虹吸装置，,h,1,和,h,2,及流体密度,已知，,由题意可知，,v,a,=0,p,a,=,p,d,=,p,0,选,d,点所在平面为参考平面，对,a,、,d,两点应用伯努力方程，有,解得,因,b,、,c,、,d,各点处于截面积相同的同一流管中，所以,由连续性原理，有：,对于,a,、,b,两点，有,对于,a,、,c,两点，有,得：,，,马格努斯效应,v,机翼的升力,伯努利人物简介,丹尼尔,伯努利,（,17001782,），,1700,年,1,月,29,日生于尼德兰的格罗宁根。他自幼兴趣广泛、先后就读于尼塞尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学，学习,逻辑,、,哲学,、,医学,和,数学,。,1724,年，丹尼尔获得有关,微积分方程,的重要成果，从而轰动欧洲科学界。,伯努利把牛顿力学引入对流体力学的研究，其著名的,流体力学,一书影响深远。他同时是,气体动力学,专家。,1782,年,3,月,17,日，丹尼尔伯努利在瑞土巴塞尔去世。,