2024-2025学年度上学期11月期中调研试题（1） 高一数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）ABCD【答案】C【知识点】交集的概念及运算【分析】根据交集的定义和运算即可求解.【详解】由题意知，仅点在直线上，所以.故选：C2命题“”的否定为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结论.【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题可知：命题“”的否定为“”.故选：B3已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】按集合M是是空集和不是空集求出a的范围，再求其并集而得解.【详解】因，而， 所以时，即，则，此时时，则，无解，综上得，即实数的取值范围是.故选：C4下列各组函数表示同一个函数的是（ ）A，B，C，D，【答案】C【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等【分析】利用两函数的定义域与对应关系相同时是同一个函数，逐一分析判断即可得解.【详解】对于A，函数的定义域为，而的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B，因为，显然与的对应关系不相同，所以两函数不是同一个函数，故B错误；对于C，因为，显然与的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确；对于D，因为，显然与的对应关系不相同，所以两函数不是同一个函数，故D错误.故选：C.5已知正实数、满足，则的最小值为（ ）AB2CD【答案】A【难度】0.65【来源】河北省石家庄市第十五中学2024-2025学年高一上学期阶段测试卷（一）数学试题【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】在等式的两边同乘以，结合基本不等式可得出关于的二次不等式，即可解得的最小值.【详解】因为正实数满足，等式两边同乘以可得，所以，因为，解得，当且仅当 时，等号成立.因此，的最小值为.故选：A.6已知是定义域为的奇函数，满足若，则（ ）A13B0CD1【答案】D【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值【分析】根据奇函数的性质得到，再由，即可得到是以为周期的周期函数，再求出、的值，即可得解.【详解】解：因为是定义域为的奇函数，所以，又，所以，即，所以，即是以为周期的周期函数，又，所以，所以，所以.故选：D7已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围.【详解】对于函数，当时，当时，而，即有，依题意可得，又，解得，所以；当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，当，函数在上单调递增，则，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】关键点睛：本题的关键是分析得到，再分和两种情况讨论.8设函数若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）ABC,1D【答案】B【知识点】函数基本性质的综合应用、分类讨论证明绝对值不等式、根据二次函数的最值或值域求参数【分析】转化成，即求在的最小值.【详解】设的最大值为，令，当时，函数单调递减，由，解得（由，时，；时，；时（由，（由时，综上可得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的综合应用，根据函数的单调性判断函数的最大值，属于比较难的题目.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9下列选项中正确的是（ ）A若，则的最小值为4B若，则的最大值为C若，则的最小值为2D若，且，则的最大值为7【答案】ABD【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】A选项，直接使用基本不等式即可；B选项，变形后使用基本不等式；C选项，使用基本不等式，但不满足等号成立的条件，C错误；D选项，设，则，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到的最大值.【详解】A选项，若，则，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；B选项，若，则，故，当且仅当，即时，等号成立，B正确；C选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，但无解，故最小值取不到，C错误；D选项，设，则，则，因为，所以，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，D正确.故选：ABD【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等10函数的定义域为，已知是奇函数，当时，则有（ ）A一定是周期函数B在单调递增CD【答案】AC【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值【分析】由抽象函数的性质一一判定即可.【详解】是奇函数，故C正确；又，故，即是的一个周期，故A正确；由是奇函数知关于中心对称，即函数在上的单调性与上的单调性一致，由，则时，显然此时函数单调递减，即B错误；由上可知：，故D错误.故选：AC.11已知定义域为R的奇函数，当时，下列说法中错误的是（ ）A当时，恒有B若当时，的最小值为，则m的取值范围为C存在实数k，使函数有5个不相等的零点D若关于x的方程所有实数根之和为0，则【答案】ACD【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的单调性、根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】根据奇函数的定义确定在上单调性与性质，然后由函数值大小可判断A，由函数解析式分段求函数值的范围后可判断B，由直线与函数的图象交点个数判断C，求出的根是，然后确定值使根的和为即可判断D【详解】选项A，是奇函数，时，在上递减，且，是奇函数，则，时，在上递减，但，因此在上不是增函数，A错；选项B，当时，因此，当时，是减函数，由得，因此，综上有，B正确；选项C，易知是的一个零点，由于，过点时，此时由得，即直线与在点处相切，因此时，直线与的图象只有一交点，在时，直线与只有一个交点，从而时，直线与的图象有三个交点，而时，因此，直线与的图象无交点，所以直线与的图象不可能是5个交点，即函数不可能有5个不相等的零点，C错；选项D，由上讨论知的解为和，因此若关于x的方程所有实数根之和为0，由是奇函数知若，则的解是和，符合题意，但（由此讨论知只有一解），即，即时，关于x的方程所有实数根之和也为0，D错故选：ACD【点睛】方法点睛：解决分段函数的零点与交点问题，把零点问题转化为直线与函数图象交点问题进行处理，从而利用函数的性质确定出函数解析式，作出函数图象，观察出结论并找到解题思路三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12若不等式的解集是或，则不等式的解集是 【答案】【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系【分析】由题设可得和是方程的两根，利用韦达定理，求得，把不等式转化为不等式，即可求解.【详解】由题意，不等式的解集是或，可得和是方程的两根，所以，解得，则不等式可化为，即，因为，所以不等式等价于，解得，即不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及二次式之间的关系，其中解答中根据三个二次式之间的关系，利用韦达定理求得的关系，结合一元二次不等式的解法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13若，且，则的最小值为 【答案】2【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】通分后利用已知化简，然后再变形为，利用常数代换，结合基本不等式可得.【详解】因为，所以，由于，所以，且，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2.故答案为：214已知函数有三个零点，且的图像关于直线对称，则 ；的取值范围为 【答案】1；【知识点】函数对称性的应用、根据函数零点的个数求参数范围【分析】，从而得到，故的图像关于直线对称，求出，显然为函数的零点，故有两个不相等且不为1的根，由即可得解.【详解】，则，定义域为R，且，故的图像关于直线对称，故，显然为函数的零点，故有两个不相等且不为1的根，所以，解得：.故答案为：，.【点睛】思路点睛：函数的对称性，若，则函数关于中心对称，若，则函数关于对称.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）记关于x的不等式的解集为P，不等式|x1|1的解集为Q（1）若a3，求P；（2）若QP，求正数a的取值范围【答案】（1）x|1x3；（2）（2，）【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式、公式法解绝对值不等式【分析】（1）将a3代入，转化为一元二次不等式求解即可；（2）先求出不等式的解集Q，再由QP求出a的取值范围【详解】（1）由，得，解得1x3，则Px|1x3（2）Qx|x1|1x|1x11x|0x2由，得，由a0，得Px|1xa，又QP，所以a2，即a的取值范围是（2，）16（本小题满分15分）已知集合，集合（1）若，求；（2）已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围（3）若，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数、根据必要不充分条件求参数【分析】（1）解二次不等式与绝对值不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解；（2）根据题意得到集合是集合的真子集，再利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解；（3）先考虑，即的情况，得到的取值范围，进而得到时的取值范围，从而得解.【详解】（1）解，得，所以，当时，解，得，所以，所以.（2）因为，若是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，因为是非空集合，所以且等号不能同时成立，解得，故实数的取值范围为.（3）若，则，因为，所以或x1，又是非空集合，所以或，解得或；所以当时，所以的取值范围为.17（本小题满分15分）已知函数（1）若，解方程；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）若函数在的最小值为，求的解析式【答案】（1）或；（2）；（3）详见解析.【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性求参数值、求二次函数的值域或最值【分析】（1）当时，解方程，进行分类讨论或，即可得出答案.（2）由绝对值的定义化简，又因为在上单调递减，则，从而求得实数的取值范围；（3）通过讨论的范围，求出的最小值，即可求出的解析式.【详解】（1）当时， 或或.（2）由 在上单调递减，（3）由.当时，由（2）知，函数在上单调递减，则： 当时：此时，函数在上单调递减，在上单调递增，则：当时，此时，函数在上单调递增，则：综上：.18（本小题满分17分）已知函数满足对一切实数，都有成立，且在上为单调递减函数（1）求，；（2）解不等式；（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）或；（3）或或【知识点】求抽象函数的解析式、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题【分析】（1）用赋值法先求出，然后可求，；（2）由再结合函数的单调性可解不等式；（3）由单调性得在上的最小值，问题变为对恒成立，作为的一次不等式易得结论【详解】（1）因为对一切实数，都有，令，则，令，则，令，则，令，则（2），不等式化为，即，又是减函数，所以，解得或解集为或（3）因为是减函数，在上的最小值为，对任意，恒成立，等价于对恒成立，解得或或所求范围是或或【点睛】本题考查抽象函数问题，考查解抽象不等式及不等式恒成立，利用赋值法求抽象函数的函数值，利用函数单调性解抽象不等式是基本方法，问题转化是本题解题关键19（本小题满分17分）已知集合对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）（1）若，求和；（2）若满足且，求的所有可能结果；（3）是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）、；（3）存在，n的所有取值为，理由见解析.【知识点】根据元素与集合的关系求参数、集合新定义【分析】（1）根据定义依次写出、即可得结果.（2）由题设有或，再依据定义确定的所有可能结果；（3）由定义得，依次写出直到即可判断存在性，并确定n的所有取值.【详解】（1）由题意，.（2）由且，当或1时，同理，或1时，或1时，或1时，所以等价于，则，当，则为满足；当，则为满足，当，则为满足，当，则为满足，综上，的所有可能结果、.（3）存在正整数n使且，理由如下：由，则，所以，若，所以，若，则，所以，对都有，当时，恒成立，综上，n所有取值为使成立.【点睛】关键点点睛：第二、三问，根据已知条件及的定义依次写出结果，判断存在性并列举出结果.