单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,要点梳理,1.等比数列的定义,如果一个数列,，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的,，通常用字母,表示.,2.等比数列的通项公式,设等比数列,a,n,的首项为,a,1,，公比为,q,，则它的通项,a,n,=,.,等比数列及其前,n,项和,从第二项起，后项与相邻前项的比是,一个确定的常数（不为零）,公比,q,a,1,q,n,-1,1,3.等比中项,若,，那么,G,叫做,a,与,b,的等比中项.,4.等比数列的常用性质,（1）通项公式的推广：,a,n,=,a,m,(,n,，,m,N,*,).,（2）若,a,n,为等比数列，且,k,+,l,=,m,+,n,，（,k,，,l,，,m,，,n,N,*,），则,.,（3）若,a,n,，,b,n,（项数相同）是等比数列，则,a,n,（0），,a,n,b,n,，,仍是等比数列.,G,2,=,a,b,q,n,-,m,a,k,a,l,=,a,m,a,n,2,5.等比数列的前,n,项和公式,等比数列,a,n,的公比为,q,（,q,0），其前,n,项和为,S,n,，当,q,=1时，,S,n,=,na,1,；当,q,1时，,S,n,=,6.等比数列前,n,项和的性质,公比不为-1的等比数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，则,S,n,，,S,2,n,-,S,n,，,S,3,n,-,S,2,n,仍成等比数列，其公比为,.,q,n,3,题型一 等比数列的基本运算,【,例1,】已知,a,n,为等比数列，,a,3,=2，,a,2,+,a,4,=，求,a,n,的通项公式.,根据等比数列的定义、通项公式及性质建立首项,公比的方程组.,解,方法一,设等比数列,a,n,的公比为,q,，则,q,0，,a,2,=,a,4,=,a,3,q,=2,q,，,+2,q,=,解得,q,1,=，,q,2,=3.,思维启迪,题型分类 深度剖析,4,当,q,=时，,a,1,=18，,a,n,=18（）,n,-1,=23,3-,n,.,当,q,=3时，,a,1,=，,a,n,=3,n,-1,=23,n,-3,.,综上所述，,a,n,=23,3-,n,或,a,n,=23,n,-3,.,方法二,由,a,3,=2,得,a,2,a,4,=4，又,a,2,+,a,4,=，,则,a,2,，,a,4,为方程,x,2,-,x,+4=0的两根，,5,a,2,=,a,2,=6,a,4,=6,a,4,=,解得,或,.,当,a,2,=时,q,=3,a,n,=,a,3,q,n,-3,=23,n,-3,.,当,a,2,=6时，,q,=,a,n,=23,3-,n,a,n,=23,n,-3,或,a,n,=23,3-,n,.,（1）等比数列,a,n,中,，,a,n,=,a,1,q,n,-1,S,n,=,中有五个量，可以知三求二；（2）注意分,类讨论的应用.,探究提高,6,题型二 等比数列的判定和,证,明,（2009全国),设数列,a,n,的前,n,项和,为,S,n,已知,a,1,=1，,S,n,+1,=4,a,n,+2.,（1）设,b,n,=,a,n,+1,-2,a,n,，证明数列,b,n,是等比数列；,（2）求数列,a,n,的通项公式.,（1）,证明,由已知有,a,1,+,a,2,=4,a,1,+2,解得,a,2,=3,a,1,+2=5,故,b,1,=,a,2,-2,a,1,=3.,又,a,n,+2,=,S,n,+2,-S,n,+1,=4,a,n,+1,+2-(4,a,n,+2)=4,a,n,+1,-4,a,n,于是,a,n,+2,-2,a,n,+1,=2(,a,n,+1,-2,a,n,)，即,b,n,+1,=2,b,n,.,因此数列,b,n,是首项为3,公比为2的等比数列.,7,(2),解,由（1）知等比数列,b,n,中,b,1,=3,公比,q,=2,所以,a,n,+1,-2,a,n,=32,n,-1,于是,因此数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,所以,a,n,=(3,n,-1)2,n,-2,.,8,题型三 等比数列的性质及应用,【,例3,】在等比数列,a,n,中，,a,1,+,a,2,+,a,3,+,a,4,+,a,5,=8且,=2,求,a,3,.,（1）由已知条件可得,a,1,与公比,q,的方程组，解出,a,1,、,q,，再利用通项公式即可得,a,3,.,（2）也可利用性质 =,a,1,a,5,=,a,2,a,4,直接求得,a,3,.,解,方法一,设公比为,q,显然,q,1,a,n,是等比数列，也是等比数列，公比,为 .,思维启迪,9,=（,a,1,q,2,）,2,=4，,a,3,=2.,方法二,由已知得,=4.,a,3,=2.,由已知条件得,10,探究提高,在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若,m,+,n,=,p,+,q,则,a,m,a,n,=,a,p,a,q,”，可以减少运算量，提高解题速度.,知能迁移3,已知等比数列,a,n,中，有,a,3,a,11,=4,a,7,，数列,b,n,是等差数列，且,b,7,=,a,7,求,b,5,+,b,9,的值;,解,a,3,a,11,=4,a,7,，,a,7,0，,a,7,=4，,b,7,=4，,b,n,为等差数列，,b,5,+,b,9,=2,b,7,=8.,11,