单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,从不同的物理模型出发，建立数学物理中三类,典型方程,根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出,定解条件,提出相应的定解问题,第一章 数学建模和基本原理介绍,1.1,数学模型的建立,数学模型建立的一般方法：,确定所研究的物理量；,建立适当的坐标系；,划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达为数学式,;,简化整理，得到方程。,2,热传导动方程,第一节 热传导方程的导出和定解条件,一、热传导方程的导出：,给定一空间内物体 ，设其上的点 在时刻 的温度为 。,模型：,问题：,研究温度 的运动规律。,分析：（两个物理定律和一个公式）,1,、热量守恒定律,:,2,、傅里叶,（,Fourier,）,热传导定律,:,温度变化吸收的热量,通过边界流入的热量,热源放出的热量,为热传导系数。,3,、热量公式,:,任取物体 内一个由光滑闭曲面 所围成的区域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。,热传导方程的推导：,热量守恒定律,区域 内各点的温度从时刻 的温度 改变为时刻 的温度 所吸收（或放出）的热量，应,等于,从时刻 到时刻 这段时间内通过曲面 流入（或流出）内的热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即,内温度变化所需要的热量,=,通过曲面 流入 内的,热量,+,热源提供的热量,下面分别计算这些热量,（,1,）内温度变化所需要的能量,那么包含点 的体积微元 的温度从 变为 所需要的热量为,设物体,的比热（单位质量的物体温度改变,所需要的热量为,密度为,整个 内温度变化所需要的能量,（,2,）通过曲面 进入 内的热量,由傅里叶热传导定律，从 到 这段时间内通过 进入 内的热量为,由高斯公式,知,（,3,）热源提供的热量,用 表示热源强度，即单位时间内从单位体积内放出的热量，则从 到 这段时间内 内热源所提供的热量为,由热量守恒定律得：,由 及 的任意性知,三维无热源热传导方程：,三维有热源的热传导方程：,（,均匀且各向同性物体，即 都为常数的物体）,其中,称为非齐次项（自由项）。,通常称（,1.5,）为,非齐次的热传导方程,，而称（,1.6,）为,齐次热传导方程,。,二、定解条件（初始条件和边界条件）,初始条件：,边界条件：,1,、第一边界条件,（,Dirichlet,边界条件）,特别地：时，物体表面保持恒温。,2,、第二边界条件,（,Neumann,边界条件）,特别地：时，表示物体绝热。,3,、第三边界条件,(,D-N,混合边界条件,),其中：,表示 沿边界 上的单位外法线方向 的方向导数,注：,注意第三边界条件的推导：,研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题,把一个温度变化规律为 的物体放入 空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度为 ，它与物体表面的温度 并不相同。这给出了第三边界条件的提法。,热传导试验定律或牛顿定律,从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比,：,其中比例常数 称为,热交换系数,流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：,或,即得到（,1.10,）：,例,长为,l,的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为,，写出这个热传导问题的边界条件。,在边界上有：,若端点是绝热的，则,解：,x=l,处,：,x,q,0,q,0,n,n,x=0,处,：,三、定解问题,定义,1,在区域,上，由偏微分方程、初,始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为,初边值问题或混合问题,。,例如三维热传导方程的第一初边值问题为：,始条件组成的定解问题称为,初值问题或柯西问题,。,例如三维热传导方程的初值问题为：,定义,2,在区域,上，由偏微分方程和初,2,、,上述边界条件形式上与波动方程的边界条件一样，但表示的物理意义不一样；,3,、,热传导方程的初始条件只有一个，而波动方程有两个初始条件。,1,、热传导,方程不仅仅描述热传导现象，也可以刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；,注,4,、,除了三维热传导方程外，物理上，,温度的分布在同一个界面上是相同的,，可得,一维热传导方程：,而对于薄片的热传导，,可得,二维热传导方程：,3,拉普拉斯方程,当我们研究物理中的各类现象，如振动、热传导、扩散等的,稳定,过程时，由于表达该物理过程的物理量 不随时间变化而变化，因此,.,如果我们考虑的是一个稳定的热场，则可以得到不随时间变化而变化的温度 所满足的方程：,方程,(*),称为,三维,拉普拉斯,(Laplace),方程,或者,调和方程,，它通常表示成为 或者 的形式。,拉普拉斯方程和泊松方程不仅描述稳定状态下温,度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静,电场的电位分布等物理现象。,其中,如果我们考虑有源的稳定热场，则可以得到方程：,非齐次方程 通常叫做,泊松,(Poisson),方程,，记作,或者,1,、,Dilichlet,问题。,2,、,Neumann,问题。,2,、,Neumann,问题。,3,、,第三边值问题。,波动方程（双曲型）,声波、电磁波、杆的振,动；,热传导方程（抛物型）,热传导，物质扩散时,的浓度变化规律,土壤力学,中的渗透方程,;,Laplace,方程（椭圆型）,稳定的浓度分布,静电场的电位,流体的势。,总 结：,1.3,定解问题的提法,初始条件和边界条件通称为,定解条件,。,定解问题,是指泛定方程和相应定解条件的结合体。,泛定方程和相应初始条件构成的定解问题称为,初值问题,或者,柯西,(Cauchy),问题,。,波方程的,Cauchy,问题,由泛定方程和相应边界条件构成的定解问题称为,边值问题。,Laplace,方程的边值问题,由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成的定解问题称为,混合问题,。,热传导方程的混合问题,例,设弦的两端固定于,x=,0,和,x=l,，,弦的初始位移如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。,解：,一个定解问题的,适定性,(Well-,posedness,),包含以下几个方面：,1,）解的,存在性,，即所提的定解问题是否有解；,3,）解的,稳定性,，即看定解问题的解是否连续依赖定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时，引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的，否则称解是不稳定的。,2,）解的,唯一性,，即所提的定解问题是否有唯一的解；,数理方程的一些基本概念,(1),偏微分方程,含有未知多元函数及其偏导数的方程，如,其中,是未知多元函数，,而,是未知变量；,为,的偏导数,.,有时为了书,写方便，通常记,(2),方程的阶,偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶,(3),方程的次数,偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数,(4),线性方程,一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导数的,幂次数,都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程,(5),准线性方程,一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最,高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程,(6),自由项,在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的,项称为自由项,5,、微分方程的解,古典解,：如果将某个函数,u,代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，且方程中出现的偏导数都连续，则这个连续函数就是该偏微分方程的古典解。,通解,：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常数的解。,特解,：通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。,形式解,：未经过严格数学理论验证的解为形式解。,6,、求解方法,分离变量法、特征线法、格林函数法,例,2.1,设 在直线,R,上具有二阶连续导数，验证,在 平面上都是 的古典解,.,解,直接计算可得,代,，,到方程中即得结论成立,.,类似可证,也是方程的古典解,.,(4),按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程,；,(5),按自由项是否为零分为,齐次方程,和,非齐次方程,3,、微分方程一般分类,(1),按自变量的个数，分为二元和多元方程,；,(2),按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和,非线性微分方程,；,(3),按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶,和高阶微分方程,；,判断下列方程的类型,思考,一般二阶线性偏微分方程（,n,个自变量）,两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式,线性方程的叠加原理,称形如,的符号为,微分算子,。,二阶偏微分方程,可简写为,定解条件,可简写为,几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。,(,物理上,),线性方程的解具有叠加特性,4,、叠加原理,叠加原理的,物理意义,：几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。,（以热传导方程为例）,叠加原理,I,设,是下面方程的解：,在,G,内收敛并且对,t,可逐项求导一次，对,x,可逐项求导两次，则和函数在,G,内仍然是（,1,）的解,.,若级数,也就是说，如果 是（,1,）的解，则其无限线性组合也是解。,叠加原理,II,叠加原理,III,设,是下面方程的解：,若,在积分号下对,t,求导一次，对,x,可求导两次，则,在,G,上是以下方程的解：,叠加原理,IV,例,非齐次波动方程的,Cauchy,问题,的解等于问题,(I),和,问题,(II),的解之和,