,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,教案六,教学内容,：,极限存在准则与两个重要极限；无穷小的比较.,教学要求,：,(1)了解两个极限存在准则。,(2)会用两个重要极限求一般简单未定式的极限，对于未定式求极限不必做过多的练习。,(3)掌握无穷小的比较的有关概念（特别是高阶无穷小与等价无穷小）。,教案六教学内容：极限存在准则与两个重要极限；无穷小的比较.,1,第六节极限存在准则与两个重要极限,第六节极限存在准则与两个重要极限,2,一.夹逼准则,证:,由条件(2),当,时,当,时,令,则当,时,有,由条件(1),即,故,定理1.,一.夹逼准则 证:由条件(2),当时,当时,令则当,3,例1.,证明,证:,利用夹逼准则.,且,由,例1.证明证:利用夹逼准则.且由,4,定理2.,且,(利用定理1及数列的夹逼准则可证),定理2.且(利用定理1及数列的夹逼准则可证),5,圆扇形,AOB,的面积,重要极限1.,证:,当,即,亦即,时，,显然有,AOB,的面积,AOD,的面积,故有,圆扇形AOB的面积 重要极限1.证:当即亦即时，显然,6,例2.,求,解:,例3.,求,解:,令,则,因此,原式,例2.求解:例3.求解:令则因此原式,7,例4.,求,解:,原式=,例5.,已知圆内接正,n,边形面积为,证明:,证:,说明:,计算中注意利用,例4.求解:原式=例5.已知圆内接正 n 边形,8,二.单调有界收敛准则,(证明略),二.单调有界收敛准则 (证明略),9,例6.,设,证明数列,极限存在.,证:,利用二项式公式,有,例6.设证明数列极限存在.证:利用二项式公式,10,大,大,正,又,比较可知,大 大 正又比较可知,11,根据单调有界收敛准则可知数列,记此极限为,e,e,为无理数,其值为,即,有极限.,又,根据单调有界收敛准则可知数列记此极限为 e,e 为无理数,12,重要极限2.,证:,当,时,设,则,重要极限2.证:当时,设则,13,当,则,从而有,故,说明:,此极限也可写为,时,令,当则从而有故说明:此极限也可写为时,令,14,例6.,求,解:,令,则,说明,：,若利用,则,原式,例6.求解:令则说明：若利用则 原式,15,例7.,求,解:,原式=,例7.求解:原式=,16,*3.柯西极限存在准则,(柯西审敛原理),数列,极限存在的充要条件是:,存在正整数,N,使当,时,证:,“必要性”.,设,则,时,有,使当,因此,“充分性”证明从略.,有,*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)数列极限存在的充,17,的不同数列,内容小结,1.函数极限与数列极限关系的应用,(1)利用数列极限判别函数极限不存在,(2)数列极限存在的夹逼准则,法1,找一个数列,且,使,法2,找两个趋于,及,使,不存在.,函数极限存在的夹逼准则,的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1),18,思考与练习,1.如何判断极限不存在?,方法1.,找一个趋于的子数列;,方法2.,找两个收敛于不同极限的子数列.,2.已知,求,时,下述作法是否正确?说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的,19,故极限存在，,备用题,1.,设,且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,故极限存在，备用题 1.设,且求解：设则由递推公式有数,20,2.,设,证:,显然,证明下述数列有极限.,即,单调增,又,存在,“拆项相消”法,2.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“,21,2.两个重要极限,或,注:,代表相同的表达式,2.两个重要极限或注:代表相同的表达式,22,第七节 无穷小的比较,第七节 无,23,都是无穷小,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.,引例,都是无穷小,但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.引例,24,定义.,若,则称,是比,高阶,的无穷小,若,若,若,若,或,设,是自变量同一变化过程中的无穷小,记作,则称,是比,低阶,的无穷小;,则称,是,的,同阶,无穷小;,则称,是关于,的,k,阶,无穷小;,则称,是,的,等价,无穷小,记作,定义.若则称 是比 高阶的无穷小,若若若若或设是自,25,例如,当,时,又如,，,故,时,是关于,x,的二阶无穷小,且,例如,当时又如，故时是关于 x 的二阶无穷小,26,例1.,证明:当,时,证:,例1.证明:当时,证:,27,定理1.,证:,即,即,例如,故,定理1.证:即即例如,故,28,定理2.,设,且,存在,则,证:,例如,定理2.设且存在,则证:例如,29,设对同一变化过程,为无穷小,说明:,无穷小的性质,(1)和差取大规则:,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则.,若,=o(,),(2)和差代替规则:,例如,例如,设对同一变化过程,为无穷小,说明:无穷小的,30,(3)因式代替规则:,界,则,例如,例1.,求,解:,原式,(3)因式代替规则:界,则例如,例1.求解:原式,31,例2.,求,解:,例2.求解:,32,内容小结,1.无穷小的比较,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是,的,高阶,无穷小,是,的,低阶,无穷小,是,的,同阶,无穷小,是,的,等价,无穷小,是,的,k,阶,无穷小,内容小结1.无穷小的比较设 ,对同一自变量的变化,33,2.等价无穷小替换定理,作业,检测题1-6,常用等价无穷小:,2.等价无穷小替换定理,34,