单击此处编辑母版标题样式,首页,上一页,下一页,结束,微积分,(,第三版,),教学课件,首页,上一页,下一页,结束,微积分,(,第三版,),教学课件,单击此处编辑母版标题样式,4.1,中值定理,一、罗尔定理,三、柯西中值定理,二、拉格朗日中值定理,一、罗尔定理,设连续光滑的曲线,y,f,(,x,),在端点,A,、,B,处的纵坐标相等,f,(,),?,观察与思考,提示,f,(,),0,函数,y,f,(,x,),满足条件,(1),在闭区间,a,b,上连续,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,(3),f,(,a,),f,(,b,),则至少存在一点,(,a,b,),使得,f,(,),0,费马,(fermat),引理,且,存在,证,:,设,则,证毕,罗尔（,Rolle,）定理,满足,:,(1),在区间,a,b,上连续,(2),在区间,(,a,b,),内可导,(3),f,(,a,)=,f,(,b,),使,证,:,故在,a,b,上取得最大值,M,和最小值,m.,若,M,=,m,则,因此,在,(,a,b,),内至少存在一点,若,M m,则,M,和,m,中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意,:,1),定理条件条件不全具备,结论不一定成立,.,例如,则由费马引理得,解,因此在,(1,2),内至少存在一点,1,使,f,(,1,),0,1,是,f,(,x,),的一个实根,在,(2,3),内至少存在一点,2,使,f,(,2,),0,2,也是,f,(,x,),的一个实根,f,(,x,),是二次多项式,只能有两个实根,分别在区间,(1,2),及,(2,3),内,例,2,不求导数,判断函数,f,(,x,),(,x,1)(,x,2)(,x,3),的导数有几个实根,以及其所在范围,f,(1),f,(2),f,(3),0,所以,f,(,x,),在,1,2,2,3,上满足罗尔定理的三个条件,因为,f,(,x,),是连续且可导的函数,并且,二、拉格朗日中值定理,观察与思考,设连续光滑的曲线,y,f,(,x,),在,端点,A,、,B,处的纵坐标不相等,直线,AB,的斜率,k,?,f,(,),?,提示,直线,AB,的斜率,二、拉格朗日中值定理,(1),在区间,a,b,上连续,满足,:,(2),在区间,(,a,b,),内可导,至少存在一点,使,思路,:,利用,逆向思维,找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,证,:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立,.,证毕,拉格朗日中值定理,如果函数,f,(,x,),满足条件,(1),在闭区间,a,b,上连续,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,则至少存在一点,(,a,b,),内,使得,或,f,(,b,),f,(,a,),f,(,)(,b,a,),拉格朗日公式,因为,介于,a,与,b,之间,所以,可表示成,a,(,b,a,)(0,1),从而拉格朗日公式也可改写成,f,(,b,),f,(,a,),f,a,(,b,a,)(,b,a,)(0,1),证,例,3,证明不等式,arctan,x,2,arctan,x,1,x,2,x,1,(,x,1,x,2,),设,f,(,x,),arctan,x,f,(,x,),在,x,1,x,2,上满足拉格朗日定,理的条件,因此有,arctan,x,2,arctan,x,1,x,2,x,1,例,4,.,证明不等式,证,:,设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,推论,1,如果函数,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内任意一点的导数,f,(,x,),都为零,那么,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内是一个常数,这是因为,对于任意,x,(,a,b,),及定点,x,0,(,a,b,),有,其中,介于,x,与,x,0,之间,f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,)(,x,x,0,),f,(,x,0,),f,(,x,),0,推论,1,如果函数,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内任意一点的导数,f,(,x,),都为零,那么,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内是一个常数,推论,2,如果函数,f,(,x,),与,g,(,x,),在区间,(,a,b,),内每一点的导数,f,(,x,),与,g,(,x,),都相等,则这两个函数在区间,(,a,b,),内至多相差一个常数,这是因为,在区间,(,a,b,),内,任意一点,有,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),0,根据推论,1,函数,f,(,x,),g,(,x,),在区间,(,a,b,),内是一个常数,f,(,x,),g,(,x,),c,或,f,(,x,),g,(,x,),c,其中,c,为某一常数,例,5.,证明等式,证,:,设,由推论可知,(,常数,),令,x,=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立,.,自证,:,经验,:,欲证,时,只需证在,I,上,三、柯西,(Cauchy),中值定理,分析,:,及,(1),在闭区间,a,b,上连续,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,(3),在开区间,(,a,b,),内,至少存在一点,使,满足,:,要证,证,:,作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考,:,柯西定理的下述证法对吗,?,两个,不,一定相同,错,!,上面两式相比即得结论,.,柯西定理的几何意义,:,注意,:,弦的斜率,切线斜率,