,6,、带电粒子在磁场中的运动,第三章 磁场,（磁聚焦）,当带电粒子从同一边界入射出射时速度与边界夹角相同,对称性,带电粒子在,直边界,磁场中的运动,x,y,O,v,0,例、,在,xoy,平面内有很多质量为,m,，电量为,e,的电子，从坐标原点,O,不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示现加一垂直于,xOy,平面向里、磁感强度为,B,的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于,x,轴且沿,x,轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作用）,所有电子的轨迹圆半径相等，且均过,O,点。这些轨迹圆的圆心都在以,O,为圆心，半径为,r,的且位于第,象限的四分之一圆周上，如图所示。,电子由,O,点射入第,象限做匀速圆周运动,解,1:,x,y,O,v,0,O,1,O,2,O,3,O,4,O,5,O,n,即所有出射点均在以坐标,(0,，,r,),为圆心的圆弧,abO,上，显然，磁场分布的最小面积,应是实线,1,和圆弧,abO,所围的面积，由几何关系得,由图可知，各电子离开磁场的出射点，均应满足方程,x,2,+,(,r,y,),2,=r,2,。,1,2,解,2:,设,P,(,x,，,y,),为磁场下边界上的一点，经过该点的电子初速度与,x,轴夹角为,，则由图可知：,x=r,sin,，,y=r,r,cos,，,得,:,x,2,+,(,y,r,),2,=r,2,。,所以磁场区域的下边界也是半径为,r,，圆心为,(0,，,r,),的圆弧。,磁场上边界如图线,1,所示。,x,y,O,v,0,1,P,(,x,y,),O,r,r,两边界之间图形的面积即为所求。,图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积：,圆形磁场的两个特殊规律,磁聚焦和磁发散现象,当,磁场圆半径与轨迹圆半径相等时,存在两条特殊规律,:,1,、从磁场边界上以相同速度平行入射的相同粒子,又会聚焦于磁场边界上的同一点。,2,、反之,从磁场边界上某点向四周发射速率相同的粒子,其出射方向都平行于入射点的切线方向,.,磁聚焦概括：,平行会聚于一点,（磁聚焦）,一点发散成平行,(,磁发散）,例,2,、,（,2009,海南,T,16,）,如图，,ABCD,是边长为,a,的正方形。质量为,m,电荷量为,e,的电子以大小为,v,0,的初速度沿纸面垂直于,BC,边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场，电子从,BC,边上的任意点入射，都只能从,A,点射出磁场。不计重力，求：,（,1,）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；,（,2,）此匀强磁场区域的最小面积。,A,B,C,D,x,y,O,v,0,解：,（,1,）设匀强磁场的磁感应强度的大小为,B,。令圆弧,AEC,是自,C,点垂直于,BC,入射的电子在磁场中的运行轨道。,依题意，圆心在,A,、,C,连线的中垂线上，故,B,点即为圆心，圆半径为,a,，按照牛顿定律有,ev,0,B,=,mv,0,2,/,a,，得,B,=,mv,0,/,ea,。,A,B,C,D,E,F,p,q,O,（,2,）自,BC,边上其他点入射的电子运动轨道只能在,BAEC,区域中。因而，圆弧,AEC,是所求的最小磁场区域的一个边界。,设某射中,A,点的电子速度方向与,BA,的延长线夹角为,的情形。该电子的运动轨迹,qpA,如图所示。图中圆弧,Ap,的圆心为,O,，,pq,垂直于,BC,边，圆弧,Ap,的半径仍为,a,，在,D,为原点、,DC,为,x,轴、,DA,为,y,轴的坐标系中，,p,点的坐标为,(,x,，,y,),，则,x,=,a,sin,，,y,=,a,cos,。,因此，所求的最小匀强磁场区域，是分别以,B,和,D,为圆心、,a,为半径的两个四分之一圆周,AEC,和,AFC,所围成的区域，其面积为,S,=2(,a,2,/4-,a,2,/2)=(,-2),a,2,/2,由式可得：,x,2,+,y,2,=,a,2,，这意味着在范围,0,/2,内，,p,点处在以,D,为圆心、,a,为半径的四分之一圆周,AFC,上，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。,例,1,、,（,2009,年浙江卷）,如图，在,xOy,平面内有与,y,轴平行的匀强电场，在半径为,R,的圆内还有与,xOy,平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿,x,轴正方向发射出一束具有相同质量,m,、电荷量,q,(,q,0),和初速度,v,的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在,0,y,2,R,的区间内。已知重力加速度大小为,g,。,（,1,）从,A,点射出的带电微粒平行于,x,轴从,C,点进入有磁场区域，并从坐标原点,O,沿,y,轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。,（,2,）请指出这束带电微粒与,x,轴相,交的区域，并说明理由。,（,3,）若这束带电磁微粒初速度变为,2,v,，那么它们与,x,轴相交的区域又在,哪里？并说明理由。,x,y,R,O,/,O,v,带点微粒发射装置,C,解析：,(1),带电微粒所受重力和电场力平衡。由,Eq=mg,，可得,E=mg/q,，方向沿,y,轴正方向。,带电微粒进入磁场后，将做圆周运动。如图（,a),轨迹半径为,r=R,，由,Bqv=mv2/r,得，,B=mv/qR,方向垂直于纸面向外。,x,y,R,O,/,O,v,C,A,x,y,R,O,/,v,Q,P,O,R,图,(,a),图,(,b),(2),这束带电微粒都通过坐标原点。,如图（,b),所示，从任一点,P,水平进入磁场的,带电微粒在磁场中做半径为,R,的匀速圆周运动，圆,心位于其正下方的,Q,点，设微粒从,M,点离开磁场可证明四边形,PO,MQ,是菱形，则,M,点就是坐标原点，故这束带电微粒都通过坐标原点,0,x,y,R,O,/,O,v,C,A,x,y,R,O,/,v,Q,P,O,R,图,(,a),图,(,b),M,x,y,R,O,/,O,v,带点微粒发射装置,C,P,Q,r,图,(c),(3),带电微粒在,y,轴右方,(X O),的区域离开磁场并做匀速直线运动靠近上端发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向,X,轴正方向的无穷远处，靠近下端发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场所以，这束带电微粒与,X,轴相交的区域范围是,X 0,例,3,、,如图所示，在,xOy,平面上,H,y,H,的范围内有一片稀疏的电子，从,x,轴的负半轴的远外以相同的速率,v,0,沿,x,轴正向平行地向,y,轴射来，试设计一个磁场区域，使得：,(1),所有电子都能在磁场力作用下通过原点,O,；,(2),这一片电子最后扩展到,2,H,y,0,）发射出速率相同的电子，已知电子在该磁场中的偏转半径也为,R,，,电子电量为,e,，质量为,m,。,不计重力及阻力的作用。,（,1,）求电子射入磁场时的速度大小；,（,2,）速度方向沿,x,轴正方向射入磁场,的电子，求它到达,y,轴所需要的时间；,（,3,）求电子能够射到,y,轴上的范围。,x,y,O,E,O,R,例、,(2008,重庆高考,),如图为一种质谱仪工作原理示意图。在以,O,为圆心，,OH,为对称轴，夹角为,2,的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场。对称于,OH,轴的,C,和,D,分别是离子发射点和收集点。,CM,垂直磁场左边界于,M,，且,OM=d,。现有一正离子束以小发散角（纸面内）从,C,射出，这些离子在,CM,方向上的分速度均为,v,0,。若该离子束中比荷为,q/m,的离子都能会聚到,D,，试求：,（,1,）磁感应强度的大小和方向,（提示：可考虑沿,CM,方向运动的离子为研究对象）,；,（,2,）离子沿与,CM,成,角的直线,CN,进入磁场，其轨道半径和在,磁场中的运动时间；,（,3,）线段,CM,的长度。,解：,（,1,）如图所示，设沿,CM,方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为,R,，,由,R,=,d,，,qv,0,B,=,mv,0,2,/,R,可得,B,=,mv,0,/,qd,，,磁场方向垂直纸面向外。,（,2,）设沿,CN,运动的离子速度大小为,v,，在磁场中的轨道半径为,R,，运动时间为,t,由,v,cos,=,v,0,，得,v,=,v,0,/cos,。,R,=,mv,/,qB,=,d,/cos,。,设弧长为,s,，,t,=,s/v,，,s=,2(,+,),R,离子在磁场中做匀速圆周运动的周期,T,=2,m/Bq,，,得：,t,=,(3),CM,=,MN,cot,由正弦定理得,=,R,=,mv,/,qB,=,d,/cos,。,以上,3,式联立求解得,CM,=,d,cot,例、,如图，在直角坐标系,xOy,中，点,M,(0,，,1),处不断向,+,y,方向发射出大量质量为,m,、带电量为,q,的粒子，粒子的初速度大小广泛分布于零到,v,0,之间。已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为,B,，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿,+,x,方向经过,b,区域，都沿,y,的方向通过点,N,(3,，,0),。,（,1,）通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小面积；,（,2,）若其中速度为,k,1,v,0,和,k,2,v,0,的两个粒子同时到达,N,点,(1,k,1,k,2,0),，求二者发射的时间差。,M,O,a,b,c,N,1,2,3,x,(,mv,0,/,qB,),y,(,mv,0,/,qB,),1,2,v,0,例、,（,1975 IPHO,试题）,质量均为,m,的一簇粒子在,P,点以同一速度,v,向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场,B,将这些粒子聚焦于,R,点，距离,PR,=2,a,，离子的轨迹应是轴对称的。试确定磁场区域的边界。,x,y,v,P,R,a,磁 场,O,a,r,b,A,(,x,y,),解答：,在磁场,B,中，粒子受洛仑兹力作用作半径为,r,的圆周运动：,设半径为,r,的圆轨道上运动的粒子，在点,A,(,x,，,y,),离开磁场，沿切线飞向,R,点。由相似三角形得到：,同时，,A,作为轨迹圆上的点，应满足方程：,v,2,qvB,=,m,r,mv,r,qB,=,x,=,y,b,y,a,x,x,2,+,(,y,b,)=,r,2,y,=,r,2,x,2,x,(,a,x,),消去,(,y-b,),，得到满足条件的,A,点的集合，因此，表示磁场边界的函数方程为：,例、,(,第二十届全国预赛试题,),从,z,轴上的,O,点发射一束电量为,q,、质量为,m,的带正电粒子，它们速度方向分布在以,O,点为顶点、,z,轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所示），速度的大小都等于,v,。试设计一种匀强磁场，能使这束带电粒子会聚于,z,轴上的另一点,M,，,M,点离开,O,点的距离为,d,。要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值。不计粒子间的相互作用和重力的作用。,n,=1,，,2,，,3,，,z,O,M,磁透镜,谢 谢 听 讲！,