Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Public Finance,Consumers Theory,此处编辑母版单击标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,What have we learned?,偏好,偏好（理性偏好）,偏好公理,效用,代表偏好的效用函数,性质,消费者问题,用偏好表示,用效用表示,1,What have we learned?,Modern Consumer Theory：在消费者偏好基础上完全重新阐释消费者行为理论,在现代理论中，效用函数仅仅是一个归纳消费者偏好所包含的信息的方便工具,偏好关系,无差异曲线,效用函数,“Represent”,2,补充说明,偏好假设（or理性偏好or一致偏好）对于现代消费者理论是必需的吗？,No,显示偏好,从消费者的,选择行为,出发研究消费者的需求规律,3,需 求,马歇尔需求函数与间接效用函数,希克斯需求函数与支出函数,几个重要的恒等式,需求函数的性质与禀赋,4,二、个人选择与比较静态分析(间接效用函数与支出函数),The Consumers Choice and Comparative Analysis：Indirect Utility and Expenditure Function,5,消费者问题的,假设,消费者偏好具有完备性、可传递性、连续性、严格单调性和严格凸性。,代表该偏好的效用函数,u,(x)连续、严格递增、严格拟凹。,定义在 上直接代表偏好的效用函数,u,(x)也被称为,直接效用函数,。,市场经济,(Market Economy),价格p不受消费者行为影响，p,0,可行集,B,：竞争性预算集 B=x,0,|px,m,m,0,B是紧集（有限闭集）,6,The Consumers Problem,问题：消费者在可行集 上按照定义在 上的偏好关系,选择最偏好的可行选择,x,*,B,使得 x,B,都有 x,*,x,问题：效用最大化,Max,x,0,u,(x),s.t.p,x,m,Max,x,0,u,(x),s.t.p,x,m,7,2.1 间接效用函数,由解的存在性和唯一性定理，效用最大化问题：,Max,x,0,u,(x),s.t.p,x,=m,存在唯一的解，记为x(p,m)，也称为马歇尔需求函数,从而：,u,(x)=,u,(x(p,m),v,(p,m),v,(p,m)称为间接效用函数,Def：,间接效用函数,v,(p,m),是效用最大化问题的值函数：,v,(p,m)Max,x,0,u,(x)s.t.p,x,=m,8,间接效用函数,构造拉格朗日函数：,L(x,p,m)=u(x,1,x,2,)+,(m-p,1,x,1,-p,2,x,2,),显然，由包络定理，有：,9,间接效用函数的性质,假设,u,(x),连续、递增；,p,0，,m,0。,Prop.1：,v,(p,m)在 上是连续函数,Prop.2：,v,(p,m)是(p,m)的零次齐次函数,v,(tp,tm)=,v,(p,m),t0,证明：,t0,B(tp,tm)=B(p,m),从而x(tp,tm)=x(p,m),v,(tp,tm)=,v,(p,m)。,10,间接效用函数的性质,Prop.3：,v,(p,m)是m的递增函数,证明1：,m,m，B(p,m)B(p,m)，从而,v,(p,m),v,(p,m)。,证明2：若,u,(x)可微，则由,包络定理，,若偏好还满足局部非饱和性，,v,(p,m)是m的严格递增函数,Prop.4：,v,(p,m)是p的递减函数,证明1：,p,p，B(p,m)B(p,m)，从而,v,(p,m),v,(p,m)。,证明2：若,u,(x)可微，则由,包络定理：,11,间接效用函数的性质,Prop.5：Roys Identity,若,v,(p,m)在(p,m)处可微，且 ，则：,证明1：包络定理,12,2.2 支出函数,v,(p,m)对m递增，若偏好还满足局部非饱和性，则,v,(p,m)对m严格递增。,从而间接效用函数有反函数：,给定,效用水平u，都可以找到价格p下实现u的最小收入m,支出最小化问题(EMP),Min,x,e=px s.t.,u,(x)=,u,如果,u,(x)连续，EMP一定存在最小值,如果,u,(x)是连续严格拟凹函数，那么最优解唯一,最优解：h(p,u,),13,支出最小化问题,效用最大化问题（UMP）：,Max,x,0,u,(x),s.t.p,x,=m,x(p,m):马歇尔需求函数(Marshallian demand function),支出最小化问题（EMP）：,Min,x,0,p,x,s.t.,u,(x)=u,h(p,u):也称为希克斯需求函数（Hicksian demand function）或补偿需求函数,14,支出函数(Expenditure Function),Def：,支出函数,e,(p,u),是支出最小化问题的值函数：,e,(p,u)Min,x,0,p,x s.t.,u,(x)=,u,L(.)=p,x+,u,u,(x),显然，由包络定理，有：,15,支出函数的性质,Prop.1：,e,(p,u)在 上是连续函数,Prop.2：,e,(p,u)是p的一次齐次函数,e,(tp,u)=te(p,u),t0,证明：设x是(p,u)下支出最小化问题的解。假设x不是(tp,u)下支出最小化问题的解，记x,是价格tp下的最优消费束。则,e(tp,u)=tp.x,0，,有：p.x,p.x,x不是价格p下最小化支出的消费束，矛盾。从而x也是价格tp下最小化支出的消费束，,e,(tp,u)=tp.x=t,e,(p,u)。,16,支出函数的性质,Prop.3：,e,(p,u)是u的递增函数,证明1：B(p,u)B(p,u)，u0，设p,t,=t,p,1,+(1-t)p,2,，x,t,是p,t,下的最优消费束，则：,e,(p,t,u)=p,t,x,t,=t,p,1,x,t,+(1-t)p,2,x,t,t,p,1,x,1,+(1-t)p,2,x,2,，,即,e,(p,t,u),te(,p,1,u)+(1-t)e(p,2,u)，从而e(p,u)对p凹。,18,支出函数的性质,Prop.6：Shephards Lemma,若e(p,u)对p可微，且p,i,0，则：,证明1：包络定理,L(x,p,u,)=px+,u,-,u,(x),19,2.3 几个重要的恒等式,效用最大化问题（UMP）：,Max,x,0,u,(x),s.t.p,x,=m,x(p,m)，马歇尔需求函数,支出最小化问题（EMP）：,Min,x,0,p,x,s.t.,u,(x)=u,h(p,u)，希克斯需求函数,20,效用最大化(UMP)与支出最小化(EMP),效用最大化问题(UMP)的解是给定该最大化效用水平下支出最小化(EMP)问题的解：,x(p,m)=h(p,v(p,m),),支出最小化问题(EMP)的解是给定收,入为该最小化花费水平下效用最大化问题的解：,h(p,u)=x(p,e(p,u),),Min,x,0,p,x,s.t.v(p,m),=,u,(x),Max,x,0,u,(x),s.t.p.x,=m,21,几个重要的恒等式,普通(马歇尔)需求函数与补偿（希克斯）需求函数：,x(p,m),h(p,v(p,m),),h(p,u)x(p,e(p,u),),类似的，间接效用函数与支出函数也有两个重要的恒等式：,u,v(p,e(p,u),m,e(p,v(p,m),22,2.4 需求函数的性质,因为x(tp,tm)=x(p,m),所以：x(p,m)=x(p,1,/p,n,p,2,/p,n,.,1,m/p,n,),Absence of Money Illusion(Relative Price,Real Income&Numerair),23,2.4.1 比较静态分析,收入扩展线：价格固定不变，收入m变化时最优商品组合的轨迹,Engel曲线：价格固定不变，收入m变化时第i种商品需求的变化,价格提供线(Price Offer)：收入固定不变，价格变化时最优商品组合的轨迹,图示&含义,24,收入扩展线&Engel曲线,Cournot Aggregation:,Engel Aggregation:,25,2.4.2 Slutskys Equation,支出最小化问题(EMP)的解是给定最小化花费水平下效用最大化问题的解：,h(p,u)=x(p,e(p,u),),对p,j,求偏导：,26,Slutskys Equation,Slutskys Equation:,其中，u=v(p,m)。,替代效应,收入效应,27,x,0,x,1,x,h,Hicks补偿,x,0,=x(p,0,m,),x,1,=x(p,1,m,),x,h,=h(p,1,u,0,),=x(p,1,m+,m,),x,2,x,1,o,m,/,p,2,u,1,u,0,替代效应&收入效应(Substitution Effect&Income Effect),28,Substitution Effect&Income Effect,Slutskys Equation:,其中，u=v(p,m),。,正常商品：,0,劣质商品：,?,基芬商品：,0,需求定律：对于正常商品，价格上升，需求下降。,基芬商品一定是劣质品。,29,补偿和普通需求函数的性质,回顾：Sherphads Lemma&Slutskys Equation,30,2.4.3 补偿需求函数的性质,Prop.1：h(p,u)在 上是连续函数,Prop.2：h(p,u)是p的零次齐次函数,h(tp,u)=h(p,u),t0,证明：Shephards Lemma,Prop.3：,The Compensated Law of Demand:,补偿需求曲线一定向下倾斜,31,2.4.3 补偿需求函数的性质,Prop.4：D,p,h(p,u)是半负定对称矩阵,支出函数,e,(p,u)是p的凹函数,32,2.4.4 普通需求函数的性质,Prop.1：x(p,m)在 上是连续函数,Prop.2：x(p,m)是(p,m)的零次齐次函数,x(tp,tm)=,x,(p,m),t0,证明：,t0,B(tp,tm)=B(p,m),证明：设x是(p,m)下效用最大化问题的解。假设x不是(tp,tm)下效用最大化问题的解，记x,是(tp,tm)下效用最大化问题的解。则,tp.x,tm,x,x,由,t0，,有：p.x,m,x,x，这与x是(p,m)下效用最大化问题的解矛盾。从而x也是(tp,tm)下效用最大化问题的解，,x,(tp,tm)=,x,(p,m)。,33,普通需求函数的性质,Prop.3：x(p,m)是m的严格递增函数 (?v),证明1：包络定理，,证明2：B(p,m)B(p,m)，mm,Prop.4：,偏好严格单调，所以,p,x(p,m)=m,(,瓦尔拉斯法则,),34,2.5 总结：对偶性深入分析,偏好,EMP,UMP,35,2.6 禀赋与需求函数,禀赋,价格变化的福利效果(图示),禀赋收入效应,修正的斯勒茨基方程,36,2.6 禀赋与需求函数,劳动供给,初始禀赋,相对价格,比较静态（图）,劳动供给曲线（图）,加班工资（图）,37,习题,一、证明：Engel加总,二、,效用函数为u=f(q,H)，q为商品量，H为消费商品的时间，且两者边际效用均大于零。W为工作时间，且W+H=24，r是工资，商品价格为p。问：,最优化问题的数学表达式是什么？,找出dH/dr的表达式，其符号是否确定？为什么？,38,Thank you,拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛,-,治疗三叉神经痛