,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4.1,抛物线及其,标准方程,抛物线的生活实例,投篮运动,*,*,萨尔南拱门,*,抛物线及其标准方程,实验模型：,M,F,如图，点,F,是定点,L,是不经过点,F,的定直线。,H,是,L,上任意一点，过点,H,作 ，线段,FH,的垂直平分线交,MH,于点,M,，拖动点,H,，观察点,M,的轨迹，你能发现点,M,满足的几何条件吗？,实验,平面内与一个定点,F,和一条定直线,l,（,l,不,经过点,F,）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,一、抛物线定义,其中,定点,F,叫做抛物线的焦点,定直线,l,叫做抛物线的准线,l,H,F,M,定义告诉我们：,1,、判断抛物线的一种方法,2,、抛物线上任一点的性质：,|MF|=|MH|,1,、到定点（,3,，,0,）与到直线 的距离相等的点的轨迹是（）,A.,椭圆,B.,双曲线,C.,抛物线,D.,直线,2,、到定点（,3,，,0,）与到直线 的距离相等的点的轨迹是（）,A.,椭圆,B.,双曲线,C.,抛物线,D.,直线,C,D,练习,二、抛物线的标准方程,1.,建,:,建立直角坐标系,.,3.,限（现）,:,根据限制条件列出等式,;,4.,代,:,代入坐标与数据,;,5.,化,:,化简方程,.,2.,设,:,设所求的动点,(x,y);,回顾求曲线方程一般步骤：,F,M,l,H,建系,x,y,y,O,y,O,O,N,K,N,F,K,（一）标准方程的推导,:,y,o,F,设,KF,=p,（,p 0,）,由,|MF|=|MH|,可知，,化简得,y,2,=2px,（,p,0,）,如图，以过,F,点垂直于直线 的直线为 轴，,F,和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系,K,则,F,（，,0,），：,x,=,-,p,2,p,2,设动点,M,的坐标为（,x,，,y,），,M(x,y),H,把方程,y,2,=2,px,（,p,0,）,叫做抛物线的标准方程,而,p,的几何意义是,:,焦点到准线的距离,其中 焦点,F,（，,0,），,准线方程,l,：,x,=-,p,2,p,2,K,O,l,F,x,y,.,想一想,:,在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程，那么抛物线的标准方程有哪些不同的形式？,看图,图形,标准方程,焦点坐标,准线方程,（二）四种抛物线的标准方程,图,（三）区别与联系,1,、四种形式标准方程及图像的共同特征,（,1,）、二次项系数都化成了,_,（,2,）、四种形式的方程一次项的系数都含,2p,1,（,3,）、四种抛物线都过,_,点,；焦点与准线分别位于此点的两侧，且离此点的距离均为,_,O,1,、一次项,(x,或,y),定焦点,2,、一次项系数符号定开口方向,.,正号朝坐标轴的正向，负号朝坐标轴的负向。,二、四种形式标准方程及图像的区别,例,1,已知抛物线的标准方程是,y,2,=6,x,，,求它的焦点坐标和准线方程；,解,:2,P,=6,P,=3,所以抛物线的焦点坐标是（，,0,）,准线方程是,x,=,是一次项系数的,是一次项系数的,的相反数,三、应用,练习,求下列抛物线的焦点坐标和准线方程,（,1,）,y,2,=-20,x,（,2,）,y,=6,x,2,焦点,F(-5 ,0),准线：,x=5,焦点,F(0 ,),1,24,准线：,y=,1,24,例,2,已知抛物线的焦点坐标是,F,（,0,，,-2,）,求它的标准方程。,解,:,因为焦点在,y,的负半轴上,所以设所,求的标准方程为,x,2,=-2,p,y,由题意得 ，即,p,=4,所求的标准方程为,x,2,=-8y,解题感悟,:,求抛物线标准方程的步骤：,（,1,）,确定抛物线的形式,.,（,2,）,求,p,值,（,3,）,写抛物线方程,求过点,A,（,-3,，,2,）的抛物线的标准方程。,A,O,y,x,解,:,（,1,）,当抛物线的焦点在,y,轴,的正半轴上时，把,A,（,-3,，,2,）,代入,x,2,=2,py,，得,p,=,（,2,）当焦点在,x,轴的负半轴上时，,把,A,（,-3,，,2,）代入,y,2,=,-,2,px,，,得,p,=,抛物线的标准方程为,x,2,=,y,或,y,2,=,x,。,巩固提高,：,注意,:,焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论,例,3.,一种卫星接收天线的轴截面如图。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径为,4.8m,深度为,0.5m,，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。,小结,1,.,理解抛物线的定义,2.,掌握抛物线的标准方程的四种形式以及,P,的几何意义,.,3.,注重数形结合、分类讨论思想的应用,练习,根据下列条件写出各自的抛物线的标准方程,（,1,）焦点是,F,（,3,，,0,）,（,2,）焦点到准线的距离为,2,y,2,=12x,y,2,=4x,y,2,=,4x,x,2,=4y,x,2,=,4y,4a,1,焦点坐标是（,0,，），准线方程是：,y=,4a,1,当,a0,时,抛物线的开口向上,p,2,=,1,4a,二次函数,(a 0),的图象为什么是一条抛物线？试指出它的开口方向、焦点坐标和准线方程。,解：二次函数 化为：其中,思考,:,作业,P,73 A,组：,1,2,（必做）,补充：求经过点,p,（,4,，,-2,）的抛物线,的标准方程。,解法一：以,为,轴，过点,垂直于,的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点 设动点点 ，由抛物线定义得：,化简得：,M(x,y),x,y,O,F,L,解法二：以定点,为原点，过点 垂直于,的直线为,轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点 ，的方程为,设动点 ，由抛物线定义得,化简得：,M(x,y),x,y,F(O),L,y,2,2p,(p,0),F(,，,0),2,p,2,p,x,y,L,F,o,M,