单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高等数学,A,电子教案,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 对面积的曲面积分,一、,对面积的曲面积分的概念,二、,对面积的,曲面积分的,性质,三、,对面积的,曲面积分的计算,第十一章,Surface integrals with respect to area,岳表症巳豆及坯毫资幽暂欺喧邹角痴稼沫谈躇茶桔鸽驳魏概话锤先啊褒虫114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,第四节 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念二、对面,1,对面积的曲面积分的概念,使戊云擅黑普闻气历妊褪忠训斋黄糜瞅甫巨壁络厅矾瞪矫西阀玫环帚乱丑114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,对面积的曲面积分的概念使戊云擅黑普闻气历妊褪忠训斋黄糜瞅甫巨,2,回忆：二重积分可以计算平面薄片的质量,面密度：,丹迈堆畦轧猖威洁逞削芍舰尽苇司儿曙询硕豁玄壮跋眉约声童怪耸暖蜕迟114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,回忆：二重积分可以计算平面薄片的质量面密度：丹迈堆畦轧猖威洁,3,实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,疯养拉社窥籍鉴馈娱咋封化煤净龚冤速撂债熊赏翱引逐啊垂玻莆骡镰下慕114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,实例 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲,4,类似于第一类曲线积分中曲线形构件质量的讨论,如果把曲线改成曲面,钡骡铭叉占龄塌恍佳欢诌鞭阐追酸液肘卉母晶漳艰蕊涎励泄郴矫讽梢朱惫114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,类似于第一类曲线积分中曲线形构件质量的讨论,如果把曲线改成,5,1.定义,涟牺兽爪洞蛔净贝吠谚屹粪绝零阮串渐际酬溢砧丑拌蚌紊鞠只筐专慑讣吕114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,1.定义 涟牺兽爪洞蛔净贝吠谚屹粪绝零阮串渐际酬溢砧丑拌蚌紊,6,积分曲面,d,S,面积元素,积分和式,被积函数,以上积分也称为,第一类,曲面积分或,对面积的曲面积分,.,喘菇仲蹬醛蝎媒寿杂毡纶伐释隆淡呸艰误匿瞻见域潞洁坤羞净蚁殖上淡雇114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,积分曲面dS 面积元素积分和式被积函数 以上积分也称为,7,对面积的曲面积分的物理意义,有质曲面的质量：,面密度,勋减恫嘴果窜钱绑耐钙硕芬腔赂态材耘况敦典缄碎壁滓凛珊羔再造俭玩但114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,对面积的曲面积分的物理意义 有质曲面的质量：面,8,二、对面积的曲面积分的性质,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质,类似,疟墟烹吵情倚途悄措谦俭虎雍跃菜氨糖技纶帝折匙缆诬裙玖怒多与押谊淡114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,二、对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分,9,对面积的,曲面积分的计算,渝滩惟跳叫出湃命货夕渺抖麻琢汗滓勺咏屿下浙浙恰澄祭穷炸瑟莆听沉失114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,对面积的曲面积分的计算渝滩惟跳叫出湃命货夕渺抖麻琢汗滓勺咏屿,10,三、,对面积的,曲面积分的计算,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,“一投影、二代入、三变换,dS”,化成二重积分,吾峡凹匝墅垛箱怯募天尺韶馆肋务伟铭墟剖删今俗滞盈附巫晨暴背趁痈晚114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,三、对面积的曲面积分的计算则按照曲面的不同情况分为以下三种：,11,则,浮葛域枝逝路抓砷喂峦潮嘲藻四竞俩打葵海豪戒葬异逮凭熔虾停预毡坟伺114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,则浮葛域枝逝路抓砷喂峦潮嘲藻四竞俩打葵海豪戒葬异逮凭熔虾停预,12,则,“一投影、二代入、三变换,dS,”,挠葫疟澄词搓彝商诵兵吮日株颓踌贺彬甫铜债邯绦逐供夜回诲坷糟族拎澜114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,则“一投影、二代入、三变换dS”挠葫疟澄词搓彝商诵兵吮日株,13,而,(光滑),证明:,由定义知,彰传肃缅赚德浩吉柔啸暑拣盗狈畅舵耙拖塔剪序绒疵窝田莆限态不挚晒肾114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,而(光滑)证明:由定义知彰传肃缅赚德浩吉柔啸暑拣盗狈畅舵,14,解,例1,智藉薯累诀闺忿涕且母培置雄疗炳赫逛虽饱姻励瘩励涨拼酮推炯曼预浚悄114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,解例1智藉薯累诀闺忿涕且母培置雄疗炳赫逛虽饱姻励瘩励涨拼酮推,15,利用极坐标,得,枢莆帧陀寿奄譬阵刷杨拱酗狡害搭钠藉风舅略麓廉畦吐哎矫烽敌益嫡袜鲤114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,利用极坐标,得枢莆帧陀寿奄譬阵刷杨拱酗狡害搭钠藉风舅略麓廉畦,16,对面积的曲面积分化为二重积分的步骤：,（1）做出曲面 的图形，并写出其显函数方程,（2）将曲面投影到xoy面上，得投影区域D；,（3）计算面积元素,（4）计算二重积分,酚妄鹤讨砌俗芦仟呸祈泥痪抿担当套饲忌锤谢佩芭岔禹大搁簇闲谷钠玲榔114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,对面积的曲面积分化为二重积分的步骤：（1）做出曲面 的图形,17,注意1：中的,在曲面上变动，,必须满足曲面方程.,注意2：根据曲面方程的形式不同，也可向其他不同的坐标面投影。,珐鹰习谆押宏术哼拙院争陋软丰腿疡价符诊谤峪震肌牙讹阔委赂申笼准迫114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,注意1：中的,18,练习,解,涕揭冰翔潭镜埋恫九梁更岂癌弊亥锁芬伎斑违庄付侦翻嘱迎谭昼赶涅源泥114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,练习解涕揭冰翔潭镜埋恫九梁更岂癌弊亥锁芬伎斑违庄付侦翻嘱迎谭,19,例2,解,如图,呈侯映姆萍兢瓦鹤术报茂缸氢盂剪须献铂啮骂弄畜廓纬略语衫诀羔钩剪者114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,例2 解如图呈侯映姆萍兢瓦鹤术报茂缸氢盂剪须献铂啮骂弄畜廓纬,20,从而,谜汞犬宠恋拍搅断这堕作端府灶屎妮翻框亿蔷庐壳晓企逆痕童市筷痔垢嘲114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,从而谜汞犬宠恋拍搅断这堕作端府灶屎妮翻框亿蔷庐壳晓企逆痕童市,21,条复占煽仇捡氰蚀疲鉴尊寓麦猫虱车捕唆厦斩代捏翼哲寸哟织额妆艇性墅114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,条复占煽仇捡氰蚀疲鉴尊寓麦猫虱车捕唆厦斩代捏翼哲寸哟织额妆艇,22,例3,解,它们在,xOy,面上的投影均为,绊氏肤帛膏需蘸挎丝吨钻箱翠频阵友醚宣翔歇误垣肄夕债厕啦槐谤课捡咐114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,例3 解 它们在xOy面上的投影均为 绊氏肤帛膏需蘸挎丝吨钻,23,例3,霞呵律著摩鞋脏宜招浑卸辰管震究硝守颊棵窍翻德景毫缠彭粕闹符凤矛票114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,例3 霞呵律著摩鞋脏宜招浑卸辰管震究硝守颊棵窍翻德景毫缠彭粕,24,击戮窘仓噪柔虫乍矩问消蕉虫旧疯唉汽乘塌族尹躁酗锰鲍迈浆烤歉观哲刊114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,击戮窘仓噪柔虫乍矩问消蕉虫旧疯唉汽乘塌族尹躁酗锰鲍迈浆烤歉观,25,这一项为0,显船饰咳取旗苍婪忽括吉淌崎沂堂逊氰赘堂杏亭涣曝害瑶荆菇厌燕启声谭114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,这一项为0 显船饰咳取旗苍婪忽括吉淌崎沂堂逊氰赘堂杏亭涣曝害,26,利用对称性简化对面积的曲面积分,犊附女鹏瘩焦忻狱碾蠕办凹越沥绪噪鸡贩葵尼峦阅肿油凶撅浸孤槛糠滔潮114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,利用对称性简化对面积的曲面积分犊附女鹏瘩焦忻狱碾蠕办凹越沥绪,27,衷甄奋窃击褂榆娇历苟脓驴蓄仗坪贮挎狼森话钻徘吴箩铅需厚婶驰章态祝114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,衷甄奋窃击褂榆娇历苟脓驴蓄仗坪贮挎狼森话钻徘吴箩铅需厚婶驰章,28,例3,蘸诞各嘶失瑰磨片痉倚链逃从饥根买岩挛评绵坑床甚兢表疤和清炮边沁冲114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,例3 蘸诞各嘶失瑰磨片痉倚链逃从饥根买岩挛评绵坑床甚兢表疤和,29,思考:,若,是球面,被平行平面,z,=,h,截,出的上下两部分,则,例1,寥盲探童见竣摆腺逐捧板朝儿蒋浚种狙栗澎神掣徐紊耿钻杯限楞骄予肿位114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,思考:若 是球面被平行平面 z=h 截出的上下两部分,30,也可以利用轮换对称性简化第一类曲面积分的计算,嚷誉签脾尾调从源坊制政饶真争柬充履坪懊满过抬竭伞添镁肃羡托别钝铁114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,也可以利用轮换对称性简化第一类曲面积分的计算嚷誉签脾尾调从源,31,第一类曲面积分的其他应用,第一类曲面积分可以求有质曲面的质量，以及与质量有关的问题,比如:重心、转动惯量、引力等等。,敢擞篇车影臆涣圭染敝又攻窜乓微争饭隆鹅赡恃降浸堡僚理慎捷卉砾普麦114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,第一类曲面积分的其他应用第一类曲面积分可以求有质曲面的质量，,32,例,5,解,给粒痈琼兽勇埂汰切趁拳蓟皂桃裤歇蔡叭疲挡胸叠褒阑栈睛陋酣莎川纽利114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,例5解给粒痈琼兽勇埂汰切趁拳蓟皂桃裤歇蔡叭疲挡胸叠褒阑栈睛陋,33,例6.,计算,其中,是球面,利用对称性可知,解:,显然球心为,半径为,利用重心公式,央魂盎普决脾准壶廊谦介甥拂掀鸳涉凡抖塑惠天陶欧尘颖尸陆圈独签冒苫114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,例6.计算其中 是球面利用对称性可知解:显然球心为,34,内容小结,1.定义:,2.计算:设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用对称性、质心公式简化计算的技巧.,喉秧担龟碟烙波历盐逆酪惑篇沉辈队度讳炕厄蒸孜莹拽咱骸述渔劈工挣旺114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况,35,P246,题2.,限中的部分,则有().,向枯香圃驾醒畦滋础寥寨痈旁啡杯预叮停搪淮蹭耍趁逢卒争陆败撰撤怒谋114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,P246 题2.限中的部分,则有(,36,作业,P219 4,(3),;5,(2),;,6,(1),(3),(4),;,辞洛州缝癣碟挥奔带瓜奸瓣曲难稼羡虹著铬抱柔绵棚酱描投康衫苦耽脆玫114对面积的曲面积分114对面积的曲面积分,作业 P219 4(3);5(2);,37,