单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1,分类加法计数原理,与,分步乘法计数原理,（三）,一、复习回顾,:,两个计数原理的内容是什么,?,解决两个计数原理问题需要注意什么问题,?,有哪些技巧,?,练习：,三个比赛项目，六人报名参加。,）,每人参加一项有多少种不同的方法？,）,每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？,）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？,例,1,用,0,1,2,3,4,5,这六个数字,(1),可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数,?,(2),可以组成多少个各位数字不重复的小于,1000,的自然数,?,(3),可以组成多少个大于,3000,小于,5421,且各位数字不允许重复的四位数,?,升华发展,一、排数字问题,1,、将数字,1,2,3,4,填入标号为,1,2,3,4,的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有,_,种,引申,:,号方格里可填，三个数字，有种填法。号方格填好后，再填与号方格内数字相同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只有种填法。,所以共有,3*3*1=9,种不同的方法。,二、映射个数问题,:,例,2,设,A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从,A,到,B,共有多少种不同的映射,?,三、染色问题,:,例,3,有,n,种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在,四个区域中相邻,(,有公共边界,),区域中不用同一种颜色,.,(1),若,n=6,为,(1),着色时共有多少种方法,?,(2),若为,(2),着色时共有,120,种不同方法,求,n,(1)(2),、如图,要给地图,A,、,B,、,C,、,D,四个区域分别涂上,3,种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,解,:,按地图,A,、,B,、,C,、,D,四个区域依次分四步完成,第一步,m,1,=3,种,第二步,m,2,=2,种,第三步,m,3,=1,种,第四步,m,4,=1,种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有,N=3 2 11=6,种。,、如图,要给地图,A,、,B,、,C,、,D,四个区域分别涂上,3,种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,若用,2,色、,4,色、,5,色等,结果又怎样呢？,答,:,它们的涂色方案种数分别是,0,、,4322=48,、,5433=180,种等。,思考：,.,如图,用,5,种不同颜色给图中的,A,、,B,、,C,、,D,四个区域涂色,规定一个区域 只涂一种颜色,相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有,种。,A,B,C,D,分析：,如图，,A,、,B,、,C,三个区域两两相邻，,A,与,D,不相邻，因此,A,、,B,、,C,三个区域的颜色两两不同，,A,、,D,两个区域可以同色，也可以不同色，但,D,与,B,、,C,不同色。由此可见我们需根据,A,与,D,同色与不同色分成两大类。,解：,先分成两类：第一类，,D,与,A,不同色，可分成四步完成。第一步涂,A,有,5,种方法，第二步涂,B,有,4,种方法；第三步涂,C,有,3,种方法；第四步涂,D,有,2,种方法。根据分步计数原理，共有,5,4,3,2,120,种方法。,根据分类计数原理，共有,12,0+60,180,种方法。,第二类，,A,、,D,同色，分三步完成，,第一步涂,A,和,D,有,5,种方法，第二步涂,B,有,4,种方法；第三步涂,C,有,3,种方法。根据分步计数原理，共有,5,4,3,60,种方法。,、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为,6,个部分（如右图）现要栽种,4,种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有,_,种,.,（以数字作答）,（,1,）与同色，则也同色或也同色，所以共有,N,1,=4,3,2,2,1=48,种；,所以，共有,N,=,N,1,+,N,2,+,N,3,=48+48+24=120,种,.,（,2,）,与同色，则或同色，所以共有,N,2,=4,3,2,2,1=48,种；,（,3,）,与且与同色，则共,N,3,=4,3,2,1=24,种,解法一：从题意来看,6,部分种,4,种颜色的花，又从图形看知必有,2,组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求,6,、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有,种（以数字作答,）,42,5,、如图，是,5,个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑,5,种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？,四、子集问题,规律：,n,元集合 的不同子集有个 。,例：,集合,A=a,b,c,d,e,它的子集个数为,，真子集个数为,，非空子集个数为,，非空真子集个数为,。,五、综合问题,:,例,4,若直线方程,ax+by=0,中的,a,b,可以从,0,1,2,3,4,这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条,?,、,75600,有多少个正约数,?,有多少个奇约数,?,解,:,由于,75600=2,4,3,3,5,2,7,75600,的每个约数都可以写成,的形式,其中,于是,要确定,75600,的一个约数,可分四步完成,即,i,j,k,l,分别在各自的范围内任取一个值,这样,i,有,5,种取法,j,有,4,种取法,k,有,3,种取法,l,有,2,种取法,根据分步计数原理得约数的个数为,5432=120,个,.,解,:,从总体上看,如,蚂蚁从顶点,A,爬到顶点,C,1,有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m,1,=12=2,条,第二类,m,2,=12=2,条,第三类,m,3,=12=2,条,所以,根据加法原理,从顶点,A,到顶点,C,1,最近路线共有,N=2+2+2=6,条。,3,.,一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？,4,、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的,12,条直线中，异面直线共有（）对,A.12 B.24 C.36 D.48,B,5.,如图,从甲地到乙地有,2,条路可通,从乙地到丙地有,3,条路可通,;,从甲地到丁地有,4,条路可通,从丁地到丙地有,2,条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？,甲地,乙地,丙地,丁地,解,:,从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以,m,1,=23=6,种不同的走法,;,第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以,m,2,=42=8,种不同的走法,;,所以从甲地到丙地共有,N=6+8=14,种不同的走法。,