*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,竞赛数学典型问题,的解决,竞赛数学典型问题的解决,第一节 函数方程,第一节 函数方程,函数方程的解法是古老的分析问题之一,.,许多数学家都曾对函数方程进行过研究,可是至今还没有完整的理论及解法,.,一些简单的函数方程只需要以初等数学为工具,在,IMO,中从七十年代以来,常有有关函数方程方面的问题,.,本节 简单介绍函数方程的常见解法和有关基本问题,.,函数方程的解法是古老的分析问题之一.许多数学家都曾,.,基础知识,1.,含有未知函数的等式称为,函数方程,.,如,等等,.,2.,在定义域内均满足函数方程的函数称为该,函数方程的,解,.,如,-,其解为一切偶函数,.,3.,寻找函数方程的解或证明函数方程无解的,过程称为,解函数方程,.,4.,有关函数方程问题大致分为三类：,(3),确定函数表达式,(,解函数方程,),(2),确定函数性质；,(1),确定函数值；,.基础知识1.含有未知函数的等式称为函数方程.如 等等.,二,.,函数方程及有关问题的解法,关于解函数方程及有关问题的解法,理论上,没有完整的一般方法,.,但 归纳起来还是有一些,常用的解法是可以借鉴的,.,1.,定义法,此方法是通过配方、凑项等手法,使函数方,程变形为关于“自变量”原象的表达式,然后以,x,代替“自变量”,即得函数表达式,.,二.函数方程及有关问题的解法关于解函数方程及有关问题的解法,例,1,已知,求,解,说明：,解得的函数必须注明定义域,必须检验,是否为函数方程的解,.,但为了简便,常省略,.,例1 已知 求解 说明：解得的函数必须注明定义域,必,例,2,2.,换元法与方程组法,此方法是通过换元,得到新的函数方程,最后,通过解函数方程组求出原函数方程的解,.,设,适合等式,则,的值域,是,(2005,年江西省高中数学联赛,),解,得,由,得,的值域为,得,以,换,x,与原方程消去,例2 2.换元法与方程组法此方法是通过换元,得到新的函数方程,例,3,设,是对除,及,有定义的实值函数,且,以外的一切实数,求,(,美国普特南,),解,在中以,代替,得,由解得,得,在中以,代替,例3 设 是对除 及 有定义的实值函数,且 以外的一切实数,例,4,设函数,满足,且对任意,都有,则,(200,年全国高中数学联赛,),解,、,在函数方程中以,换,得,在函数方程中以,换,得,由、得,例4 设函数 满足 且对任意 都有 则(200年全国高,3.,赋值法,赋值法,(,和代换法,),是确定函数方程的函数性质的基本方法,在函数定义区域内赋予变量一个或几个特殊值,使方程化繁为简,达到解决问题的目的,.,3.赋值法 赋值法(和代换法)是确定函数方程的函,例,5,解函数方程,解,在中令,得,再令,得,得,得,又再令,为任意常数,.,其中,是原函数方程的解,所以,例5 解函数方程 解 在中令 得 再令 得,例,6,函数,满足,:,对任意实数,都有,则,.,(2005,年全国高中联赛福建赛区预赛,),解,令,得,若,或,令,得,代入原函数方程知该函数不是,原方程的解,.,若,同理可解得,知该函数是原方程的解,.,代入原式,所以,例6函数 满足:对任意实数 都有 则.(2005年全国高中,4.,递归法,对定义在自然数集上的函数,若已知初始值,及递推关系,则可利用递归关系解决问题,.,例,7,对任意实数,函数,满足,若,则对负整数,n,的表达式为,(2005,年上海市高中数学联赛,(,CASIO,杯,),解,可得,又,故对负整数,n,有,取,4.递归法对定义在自然数集上的函数,若已知初始值及递推关系,例,7,对任意实数,函数,满足,若,则对负整数,n,的表达式为,(2005,年上海市高中数学联赛,(,CASIO,杯,),解,取,可得,又,易知,故对负整数,n,有,例7 对任意实数 函数 满足 若 则对负整数n,的表达式为,则,的值是,例,8,函数,定义在正整数集上,且满足,(,2002,年上海市高中联赛,),解,依题意,两式相减得,于是,则 的值是 例8 函数 定义在正整数集上,且满足(2,5.,数学归纳法,数学归纳法对解决定义在自然数集上的函数,是十分重要的方法,.,解,先证明,“,对任意自然数,只要,则,”,例,9,设,是定义在自然数集上的函数,并在自,然数集中取值,.,试证,:,如果对每一个,式,的值,不等,都成立,那么对每一个,式,都成立,.,的值,等,因,1,是,时,值域中最小的数,命题成立,.,设命题对自然数,成立,则,时,由假设有,条件得,于是由,由整数的离散性得,再用假设有,5.数学归纳法 数学归纳法对解决定义在自然数集上的函数 是十,即,时命题成立,.,因此,对任意自然数,有,再令,则,又,故,这说明,是严格递增函数,.,对任意,有,又,是严格递增，,故,即,综上,对每一个,的值,等式,都成立,.,即 时命题成立.因此,对任意自然数 有 再令 则 又 故,6.,反证法,对正面直接证明有困难的命题,可以考虑用,反证法,.,例,11,是否存在定义域为实数集的函数,得下列恒等式成立,.,使,解,则对任意实数,设题设函数存在,若有,则有,由知,这表示,是实数集,R,到,R,的单射,.,又,在中令,得,得,在中令,6.反证法 对正面直接证明有困难的命题,可以考虑用反证法.,分别在中令,得,由此及,是单射得,得,矛盾,.,故满足题设的函数不存在,.,由及,是单射得,分别在中令 得 由此及 是单射得得 矛盾.故满足,7.,函数迭代法,函数迭代是函数复合的一种特殊形式,在现,代数学中占有一定的地位,.,例,12,设,为自然数集,若函数,格递增,且对任意,都有,对任意,严,都有,(1990,年,CMO),求证,:,证明,对,设,则,因,且,严格递增,所以,又由于,故由得,7.函数迭代法函数迭代是函数复合的一种特殊形式,在现代数学中,所以,即,于是,所以,即,进而,另一方面,由得,即,于是,又由于,故由得,综上,得证,.,所以 即 于是 所以 即 进而另一方面,由得 即 于是又,8.,不动点法,方程,的根称为函数,的,不动点,.,用它,解决函数方程问题是一种重要的方法,.,例,13,求所有函数,值为正实数,且满足,其定义域为一切正实数,(IMO24),解,先证,:1,是,的不动点,.,对任意,因,有,故,这表明任意正实数都在,的值域内,.,特别地,存在,使,则,因,所以,8.不动点法方程 的根称为函数 的不动点.用它解决函数方程问,其次证,:,若,是,的不动点,则,也是,的不动点,.,若,是,的不动点,则有,于是有,即,所以,是,的不,动点,;,又,所以,也是,不动点,.,的,再证,:1,是,唯一的不动点,.,若,有不动点,则,及,都是,对任意,的不动点,.,不妨设,则,矛盾,.,故,1,是,唯一的不动点,.,由条件,(1),对任意,有,即,为,的不动点,.,于是,所以,其次证:若 是 的不动点,则 也是 的不动点.若 是 的不,9.,柯西法,柯西法要求涉及的函数是连续函数或单调,的函数,.,值,直至实数值的函数方程的解,.,柯西法解函数方程的基本步骤是,:,依次求出,对自变量的所有正自然数值、整数值、有理数,例,14,设 是 上的连续函数,且对一切,有,求,9.柯西法 柯西法要求涉及的函数是连续函数或单调的函数.值,解,(1),当自变量取自然数时,由数学归纳法得,令 得,令 得,记,于是,(2),当自变量取整数时,由 得,又,故,由知,解(1)当自变量取自然数时,由数学归纳法得 令,(3),当自变量取有理数时,设,由有,由有,即,(4),当自变量取实数时,对任意,存在,使得,由,f,的连续性及得,所以,(3)当自变量取有理数时,设由有 由有 即(4)当,本例中的函数方程由数学家柯西首先研究,故称为,柯西方程,其解法称为,柯西方法,.,该解法,十分典型,解法分若干步逼近最后的结果,其中,每一步都成为后面推理的基础,故可形象地称,为“爬坡式”推理,.,柯西方程也是一个重要的方程,许多方程可,通过代换转化为柯西方程,.,本例中的函数方程由数学家柯西首先研究,故称为柯西方程,其解法,例,15,设 在 上单调,且,求,解,设,由条件得,即,亦即,令,则,由柯西方程知,所以,例15 设 在 上单调,且 求 解 设 由条件,作业,作业,谢谢,!,谢谢!,竞赛数学典型问题的解决-函数方程课件,