单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二类曲面积分,（对坐标的曲面积分）,一、第二类曲面积分的概念与性质,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,1.曲面的侧,以下总假定曲面是光滑的或分片光滑的。,第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）一、第二类曲面积分的,1,例如旋转抛物面,在抛物面上每一点处的法向,量有两个，其中,对于曲面,S,：,z=z,(,x,y,),若每一点的法向量与,z,轴正向夹,角为锐角，则称法向量指向曲面,的上侧;否则为下侧.,例如旋转抛物面在抛物面上每一点处的法向量有两个，其中对于曲面,2,对于曲面,S,：,y=y,(,x,z,),若每一点的法向量与,y,轴正向,夹角为锐角，则称法向量指向曲面,的右侧；否则为,左侧。,对封闭曲面则有外侧和内侧之分。,这种具有两个侧的曲面称为,双侧曲面。,同理，对曲面,S,：,x=x,(,y,z,)有前侧和后侧之分。,对于曲面S：y=y(x,z),若每一点的法向量与,3,2.流量问题,2.流量问题,4,第二曲面积分课件,5,则该点流速为,.,法向量为,.,（1）（,（,（,（）,分割,（）近似,则该点流速为 .法向量为 .（1）（,6,该点处的单位法向量为：,该点处的单位法向量为：,7,(3).求和,(3).求和,8,第二曲面积分课件,9,3.第二类曲面积分 的定义,3.第二类曲面积分 的定义,10,注：,注：,11,12,4.第二类曲面积分的性质,4.第二类曲面积分的性质,13,第二曲面积分课件,14,5.第二类曲面积分的表达形式,5.第二类曲面积分的表达形式,15,第二曲面积分课件,16,（）,第一类曲面积分与第二类曲面积分的关系,（）第一类曲面积分与第二类曲面积分的关系,17,二、第二类曲面积分的计算,下面讨论第二类曲面积分的计算公式：,二、第二类曲面积分的计算下面讨论第二类曲面积分的计算公式：,18,函数Z=Z(x,y)在D是有连续偏导数,则由,上侧取+,下侧取-,计算公式,函数Z=Z(x,y)在D是有连续偏导数,则由 上侧取+,19,类似地有,右侧和前侧取+号;左侧和后侧取-号,计算公式,计算公式,类似地有右侧和前侧取+号;左侧和后侧取-号计算公式计算公式,20,三、第二类曲面积分的计算举例,例1,解,三、第二类曲面积分的计算举例例1解,21,第二曲面积分课件,22,例2,例2,23,第二曲面积分课件,24,解,解,25,第二曲面积分课件,26,第二曲面积分课件,27,