单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,人教版必修一,新课标,地理,北师大版必修,5,新课标,数学,第二章 解三角形,1,2,余弦定理,一、余弦定理,1,三角形任何一边的平方等于,_,，即,a,2,_,，,b,2,_,，,c,2,_.,2,余弦定理的推论：,cos,A,_,，,cos,B,_,，,cos,C,_.,3,余弦定理与勾股定理,(1),勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达式中令,A,90,，则,a,2,b,2,c,2,；令,B,90,，则,b,2,a,2,c,2,；令,C,90,，则,c,2,a,2,b,2,.,(2),在,ABC,中，若,a,2,b,2,c,2,，则,A,为,_,角，反之亦成立,二、余弦定理的应用,利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题：,1,已知三边，求,_.,2,已知两边和它们的夹角，求,_,和,_.,友情提示：,理解应用余弦定理应注意以下四点：,(1),余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具；,(2),余弦定理是,_,的推广，勾股定理是,_,的特例；,(3),在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以,_,；,(4),运用余弦定理时，因为已知三边求,_,，或已知两边及夹角求,_,，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的,在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的标准是什么？,在没有学习余弦定理之前，还会解三角形，但是学习了余弦定理后，就不会解三角形了，不知是用正弦定理还是用余弦定理这时要依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择，还要依靠经验的积累根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形,特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是,(0,，,),，在此范围内同一个正弦值一般对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意但是在,(0,，,),内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论,.,：,先用余弦定理求出第三边长，进而用余弦定理或正弦定理求出其他两个角,例,2,在,ABC,中，已知,a,2,，,b,，,C,15,，求角,A,、,B,和边,c,的值,变式训练,2,如图，已知,AD,为,ABC,的内角,BAC,的平分线，,AB,3,，,AC,5,，,BAC,120,，求,AD,的长,分析：,由余弦定理可解三角形,ABC,，求出,BC,长度；由三角形内角平分线定理可求出,BD,长，再解,ABD,即可求出,AD,长,解析：,在,ABC,中，由余弦定理：,BC,2,AB,2,AC,2,2,AB,AC,cos,BAC,3,2,5,2,2,3,5,cos120,49,，,BC,7,，,设,BD,x,，则,DC,7,x,，由内角平分线定理：,在,ABD,中，设,AD,y,，由余弦定理：,BD,2,AB,2,AD,2,2,AB,AD,cos,BAD,.,例,3,在,ABC,中，,a,cos,A,b,cos,B,，试确定此三角形的形状,当,a,b,时，,ABC,为等腰三角形；,当,c,2,a,2,b,2,时，,ABC,为直角三角形,ABC,为等腰三角形或直角三角形,解法,2,：由,a,cos,A,b,cos,B,以及正弦定理得,2,R,sin,A,cos,A,2,R,sin,B,cos,B,，即,sin2,A,sin2,B,.,又,A,、,B,(0,，,),，,2,A,、,2,B,(0,2),，,故有,2,A,2,B,或,2,A,2,B,，即,A,B,或,A,B,.,ABC,为等腰三角形或直角三角形,变式训练,3,(2010,辽宁卷,),在,ABC,中，,a,，,b,，,c,分别是,A,，,B,，,C,的对边，且,2,a,sin,A,(2,b,c,)sin,B,(2,c,b,)sin,C,.,(1),求,A,的大小；,(2),若,sin,B,sin,C,1,，试判断,ABC,的形状,例,4,(,数学与日常生活,),如图，某市三个新兴工业小区,A,、,B,、,C,决定平均投资共同建一个中心医院,O,，使得医院到三个小区的距离相等，已知这三个小区之间的距离分别为,AB,4.3 km,，,BC,3.7 km,，,AC,4.7 km,，问该医院应建在何处？,(,精确到,0.1 km,或,1),分析：,实际问题的解决，应首先根据题意转化为三角形模型，从而运用正、余弦定理解决，要注意题中给出的已知条件本题实际上是在,ABC,中，求,ABC,的外接圆的半径,OB,及,OB,与边,BC,的夹角,分析：,(1),由平面向量共线定理可得出关于各角的一个关系式，化简之后便可求出,A,；,(2),分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关于,b,，,c,的方程，求出,b,，,c,的值，进而求出,B,.,