*,投资中的数学问题,复旦大学数学学院,陆立强,投资中的数学问题复旦大学数学学院,2024/11/20,主要内容,等比级数,货币的时间价值,年金问题,投,资决策,2023/10/9主要内容等比级数,2024/11/20,等 比 级 数,等比数列,等比数列之和,2023/10/9等 比 级 数等比数列等比数列之和,2024/11/20,就有,注意到公式,于是,2023/10/9就有注意到公式于是,2024/11/20,货币的时间价值（,1,）,概念和记号,P,：本金,投资金额,n,：投资期限,r,：利率,单位本金,在,单位时间,（期）中的获利,衡量投资价值的重要指标,I,：利息,投资的收益，,I=f(P,n,r),S,：本利和，,S=P+I,2023/10/9货币的时间价值（1）概念和记号,2024/11/20,货币的时间价值（,2,）,概念和记号,利息公式,1,单利公式,当,n1,时，单利公式存在缺陷,2023/10/9货币的时间价值（2）概念和记号 当n1时,2024/11/20,复利公式,复利利息公式,2023/10/9复利公式,2024/11/20,说明,不难证明,复,利公式和单利公式中的利率,r,为,单期利率,，一般根据年利率折算而来。,2023/10/9说明,2024/11/20,年利率和单期利率,返回首页,期长,年利率（,%,）,期利率（,%,）,活期,0.36,0.001,3,月,1.71,0.4275,6,月,1.98,0.99,1,年,2.25,2.25,2,年,2.79,5.58,3,年,3.33,9.99,5,年,3.60,18,2023/10/9年利率和单期利率 返回首页期长年利率（,2024/11/20,例,银行年利率为,2.25%,一年结息一次,若三年后要得到本,利和,600,元,应存入多少钱,?,即应存入,561.26,元。,解,设存入钱数为,P,，由,2023/10/9例 银行年利率为2.25%,一年结息一次,2024/11/20,即约需,26,年,.,例,若本金,700,元，存一年期，利率为,2.25%,。若要本利和,达到,1240,元，需存多少时间？,解,2023/10/9即约需26年.例 若本金700元，存一年,2024/11/20,货币的时间价值,现值,n,期后持有的货币（面值,S),现在的价值,时间和利率是货币价值变化的“幕后推手”,背景：货币的数目随着时间,(n),而变,终值,现有货币（面值,P,）在,n,期后的数值,2023/10/9货币的时间价值现值n期后持有的货币（面值,2024/11/20,例,一处房产价格为,21,万元，据预测三年后价格将上涨到,23,万元，某人欲向银行贷款来进行此项投资。设银行贷款利率为,5%,，按复利计算，此项投资能否盈利？,现值,P,小于,23,万元投资额，不能盈利。,终值大于,23,万元，即,3,年后归还银行的本利和超过那时房屋的价值，不能盈利。,解,1,三年后,23,万元的现值为,解,2,21,万元,3,年后的终值为,2023/10/9例 一处房产价格为21万元，据预测三年后,2024/11/20,例：,某地,2009,年人均收入是,1999,年的,8,倍，求,10,年内年均收入平均年增长率。如果平均年增长率保持不变，则,2020,年是,2009,年的几倍？,复利公式中,r,的多重解释,利率,增长率,收益率,解,2023/10/9例：某地2009年人均收入是1999年的,2024/11/20,年金问题,A,A,A,A,A,1,2,n,n,A,A,A,A,A,1,2,n-1,n,期初,期末,年金：定,额定期的投资行为,记号：,A,每期投资额,r,单期利率,n,投资期数,投资可发生在每期之初或每期之末,2023/10/9年金问题AAAAA12nnAAAAA12n,2024/11/20,发生在期初年金的 终值,各期的终值,求和得,2023/10/9发生在期初年金的 终值求和得,2024/11/20,发生在期末年金的终值,各期的终值,求和得,2023/10/9发生在期末年金的终值求和得,2024/11/20,年金终值公式的统一表示,对发生在期初的年金，,t,取,1,，对发生在期末的年金，,t,取,0,。,利用年金终值公式，得,例,零存整取,从年初开始，每月存入,100,元，按月息,0.1425%,复利记息，到年底的本利和是多少？,解,这是期初发生的年金问题，本利和为其终值。其中,2023/10/9年金终值公式的统一表示 对发生在期初的年,2024/11/20,年金的现值,由现值公式,年金的现值为,对发生在期初的年金，,t,取,1,，对发生在期末的年金，,t,取,0,。,例,房屋抵押贷款,某人贷款购房，采用等额本息还款，若借款,70,万元，,20,年还清，月利率为,0.63%,，每月应还款多少？,2023/10/9年金的现值年金的现值为对发生在期初的年金，,2024/11/20,解,每月末的还款可视作发生在期末的年金，其现值等于贷款总额，由现值公式,解得,2023/10/9解 每月末的还款可视作发生在期末的年金，其,2024/11/20,投资决策,投资回报率,记号：投资,I(,元,);,投资行为结束时回收,V(,元,称为,毛收益,);,净收益,f(,元,),扣除本金后的收益，,f=V-I.,定义：单位投资的净收益为,投资回报率,，记为,R,对于,期限相同,的不同投资方案，可根据它们的投资回报率大小来判别项目的优劣。,2023/10/9投资决策投资回报率对于期限相同的不同投资方,2024/11/20,有,第二项回报率高，优于第一项投资。,例,有两套房产，一套报价,100,万，据评估,3,年后升值为,110,万；另一套报价,50,万，,3,年后值,58,万。哪项投资更优？,解,分别记两项投资的投资额、毛收益、净收益、回报率为：,2023/10/9有第二项回报率高，优于第一项投资。例 有,2024/11/20,复杂投资决策举例,例,某药厂贷款进行技术改造，有两种方案：,方案,1,：投资,100,万元购买新设备，每年年末可增收,20,万元；,方案,2,：投资,80,万元更新设备，每年初可节省,16,万元的检修费；,若这些设备均可使用,8,年，银行贷款利率为,9%,，哪个方案经济效益更好？,对投资期限不同的投资，需根据货币时间价值的观点,具体问题具体分析。,解,比较,8,年后的收益。,方案,1,：投资,100,万元,8,年后的价值为,万元,2023/10/9复杂投资决策举例例 某药厂贷款进行技术改,2024/11/20,8,年后增收的终值为,万元,净收益为,万元,方案,2,：投资,8,年后的价值为,万元,8,年后节省检修费的终值为,万元,2023/10/98年后增收的终值为万元净收益为万元方案2：,2024/11/20,方案,2,的净收益为,万元,所以方案,2,优于方案,1,。,例,某厂试制新产品，投产后每年末可增加收益,10,万元，为生产该产品须增加某些设备，若购置需一次付款,25,万元；若租赁这些设备，每年初付租金,3.3,万元。若厂方用贷款措筹资金，贷款复利年利率为,9.8%,（设设备的寿命为,10,年），哪一方案更好？,万元,解,用现值的观点讨论。,10,年每年末增收,10,万元的现值为,2023/10/9方案2的净收益为万元所以方案2优于方案1。,2024/11/20,购置设备或租赁设备净收益的现值分别为,万元,万元,万元,方案,2,更好。,每年初付租金的现值为：,2023/10/9购置设备或租赁设备净收益的现值分别为万元万,2024/11/20,现金流,对于存在多次投资、多次收益且使用贷款的复杂投资则一般先构造投资期限内的,现金流,F,0,F,1,F,n,F,i,0:,收益金额，,Fi0:,投资金额，,i=0,n,例：,某厂试制新产品，投产后每年末可增加收益,10,万元，为生产该产品须增加某些设备，需一次付款,25,万元,设设备的寿命为,10,年,.,则该项投资的现金流为：,-25,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,例：,房地产开发的现金流,2023/10/9现金流,2024/11/20,内部收益率,设某项投资的现金流为,F,0,F,1,F,n,则称方程,的解为该项投资的,内部收益率，,是比较投资方案的重要依据,例：,有两个投资方案,方案,1,：投资,41,万，每年收益,5,万，连续,10,年；,方案,2,：投资,32,万，每年收益,5,万，连续,14,年；,比较投资收益,2023/10/9内部收益率例：有两个投资方案,2024/11/20,解：,方案,1,的现金流为,-41,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,对应方程,等价于：,采用近似计算（如二分法），可解得,y=3.78%,2023/10/9解：,2024/11/20,方案,2,的现金流为,-32,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,对应方程,等价于：,采用近似计算（如二分法），可解得,y=3.85%,相比较，方案,2,更好。,总结：内部收益率可以处理复杂现金流的投资回报问题，但需要求解一个高次方程，必须借助于计算工具。,2023/10/9,