第三节 晶向、晶面和它们的标志,本节主要内容:,1.3.1 晶向及晶向指数,1.3.2 晶面及密勒指数,1.3 晶向、晶面和它们的标志,1.3.1 晶向及晶向指数,1.晶向,通过晶格中任意两个格点连一条直线称为,晶列,，晶列的取向称为,晶向,，描写晶向的一组数称为,晶向指数,(或,晶列指数,)。,过一格点可以有无数,晶列,。,(3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的；,(4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。,(1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；,(2)晶列上格点分布是周期性的；,晶列的特点,2.晶向指数,如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为,(1),用固体物理学原胞基矢表示,如121表示,为固体物理学原胞基矢,如遇到负数，将该数的上面加一横线。,其中 为整数，将 化为互质的整数 ，记为 ，即为该晶列的,晶列指数,。,(2)以布拉维原胞基矢表示,如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为,其中 为有理数,将 化为,互质的整数,m,n,p,记为,mnp,，,mnp,即为该,晶列,的,晶列指数,.,O,A,B,C,D,E,例1：,如图在立方体中，,D,是,BC,的中点，求,BE,AD,的晶列指数,。,解：,晶列,BE,的晶列指数为：,011,AD,的晶列指数为:,O,A,B,C,D,E,求,AD,的晶列指数,。,注意:,(1)晶列指数一定是一组互质的整数；,(2)晶列指数用方括号表示,；,(3)遇到负数在该数,上方,加一横线。,晶列(11-1),晶列11-1,晶列(111),晶列111,(4)等效晶向,。,在立方体中有，沿立方边的晶列一共有,6,个不同的晶向，由于晶格的对称性，这,6,个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方向为,等效晶向,，,写成,。,100,001,010,100,010,001,1.3.2 晶面及密勒指数,在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为,晶面指数,。,1.晶面,(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；,(3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同；,(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。,(2)晶面上格点分布具有周期性；,同一个格子，两组不同的晶面族,2.晶面指数,晶面方位,晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角),晶面在三个坐标轴上的截距,(1)以固体物理学原胞基矢表示,如图,取一格点为顶点,，原胞的三个基矢 为坐标系的三个轴，设某一晶面与三个坐标轴分别交于,A,1,A,2,A,3,设晶面的法线,ON,交晶面,A,1,A,2,A,3,于,N,，,ON,长度为,d,，,d,为该晶面族相邻晶面间的距离，,为整数，该晶面法线方向的单位矢量用 表示，则晶面,A,1,A,2,A,3,的方程为：,A,2,A,3,O,A,1,N,d,取 为天然长度单位，则得：,晶面的法线方向与三个坐标轴(基矢)的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。,A,2,A,3,O,A,1,N,d,可以证明：,r,s,t,必是一组有理数,-,-,阿羽依的有理数定理,。,设 的末端上的格点分别在离原点距离,h,1,d,、,h,2,d,、,h,3,d,的晶面上，这里,h,1,、,h,2,、,h,3,为整数,。,(2),同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。,(1,),所有格点都包容在一族晶面上,；因此给定晶面族中必有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 末端上的格点也一定落在该晶面族的晶面上；,取 为天然长度单位得：,又,晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。,A,2,A,3,O,A,1,N,d,可以证明,h,1,，,h,2,，,h,3,一定是互质的,，,称它们为该晶面族的面指数，记为(,h,1,h,2,h,3,)。,任一晶面在坐标轴上的截距,r,，,s,，,t,必是一组有理数,。,因为,h,1,、,h,2,、,h,3,为整数,，所以,r,、,s,、,t,必为有理数。,综上所述，晶面指数,(,h,1,h,2,h,3,),表示的意义是；,(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。,(2)以 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上的截距倒数的互质比；,(1)基矢 被平行的晶面等间距的分割成,h,1,、,h,2,、,h,3,等份；,设,末端上的格点分别落在离原点的距离,的晶面上,最靠近原点的晶面,在坐标轴上的截距,整数,晶面间距,的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面的截距,同族中其它晶面的截距是 的整数倍,晶面指,数,标记这个晶面系,以布拉维原胞基矢,为坐标轴来表示的晶面指数称为密勒指数，用(,hkl,),表示,。,立方晶格的几种主要晶面标记,例2：,如图所示 ，,I,和,H,分别为,BC,，,EF,之中点，,试求晶面,AEG,，,ABCD,，,OEFG,，,DIHG,的密勒指数。,AEG,ABCD,DIHG,1,1,1,1,2,1,h,k,l,在三个坐标轴上的截距,O,A,B,C,D,E,F,G,H,I,AEG,ABCD,DIHG,1,1,1,1,2,1,h,k,l,在三个坐标轴上的截距,1:1:1,(,hkl,),(111),(001),(120),AEG,的密勒指数是,(111)；,OEFG,的密勒指数是,(001)；,DIHG,的密勒指数是,(120)。,O,A,B,C,D,E,F,G,H,I,A,B,C,D,E,F,G,例3:在立方晶系中画出(210)、晶面。,晶面在三个坐标轴上的截距分别为：,1,(210),1,1,密勒指数是,(210),的晶面是,ABCD,面,；,(121),密勒指数是,的晶面是,EFG,面,；,1.4,倒格子,晶格具有周期性，一些物理量具有周期性,势能函数,势能函数是以,为周期的三维周期函数,1.4.,1,倒格与傅里叶变换,在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同,。,上式两边分别按傅里叶级数展开：,是正格矢。,一定是倒格矢。,1.4 倒格,倒格,正格点位矢：,倒格基矢,倒格点位矢：,晶体结构=晶格+基元,正格基矢,正格,一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为,倒格,。,1.4.1 倒格定义,倒格基矢定义为：,其中 是正格基矢，,与 所联系的各点的列阵即为,倒格,。,是固体物理学原胞体积,倒格基矢的方向和长度如何呢,？,一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小那么为该晶面族面间距倒数的2倍。,1.,1.4.2 倒格与正格的关系,其中 分别为,正格点位矢,和,倒格点位矢,。,2.,(,为整数),3.,(其中,和,*,分别为正、倒格原胞体积),4.倒格矢 与正格中晶面族(,h,1,h,2,h,3,),正交，且其长度为 。,(1)证明,与晶面族(,h,1,h,2,h,3,),正交。,B,C,O,A,设,ABC,为晶面族(,h,1,h,2,h,3,),中离原点最近的晶面，,ABC,在基矢 上的 截距分别为,。,由图可知：,所以,与晶面族(,h,1,h,2,h,3,),正交。,(2)证明 的长度等于 。,由平面方程：得：,在晶胞坐标系 中，,晶体结构,正格,倒格,1.,1.,2.与晶体中原子位置 相对应；,2.与晶体中一族晶面相对应；,3.是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性排列；,3.是真实空间中点的周期性排列；,4.线度量纲为长度,4.线度量纲为长度,-1,晶体结构如何求其倒格呢？,晶体结构,正格,正格基矢,倒格基矢,倒格,例1：以下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。,倒格是边长为的正方形格子。,例2：,证明体心立方的倒格是面心立方,。,解：,体心立方的原胞基矢：,倒格矢：,同理得：,体心立方的倒格是边长为4,/,a,的,面心立方,。,例,3,：证明简立方晶面(,h,1,h,2,h,3,),的面间距为,证明：,由,得：,简立方：,法一：,