,*,*,复变函数的积分,第三章,复变函数的积分第三章,3.1,复变函数积分的概念,1.,复变函数积分的定义,设平面上光滑或分段光滑曲线,C,的两个端点为,A,和,B,.,C,可能有两个方向：从点,A,到点,B,和从点,B,到点,A,.,若规定其中一个方向,(,例如从点,A,到点,B,的方向,),为正方向，则称,C,为 有向曲线,.,此时称点,A,为曲线,C,的起点，点,B,为曲线,C,的终点,.,若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点,B,到起点,A,的方向则称为曲线,C,的负方向，记作,C,.,3.1 复变函数积分的概念1.复变函数积分的定义,定义,3.1,设,C,为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中,A,为起点，,B,为终点,.,函数,f,(,z,),在曲线,C,上有定义,.,现沿着,C,按从点,A,到点,B,的方向在,C,上依次任取分点：,A,=,z,0,z,1,z,n,-1,z,n,=,B,将曲线,C,划分成,n,个小弧段,.,在每个小弧段,(,k,=1,2,n,),上任取一点,k,并作和式,其中,.,记,为,n,个小弧段长度中的最大值,.,当,趋向于零时，若不论对曲线,C,的分法及点,k,的取法如何，,S,n,极限存在，则称函数,f,(,z,),沿曲线,C,可积，并称这个极限值为函数,f,(,z,),沿曲线,C,的积分,.,记作,f,(,z,),称为被积函数，,f,(,z,)d,z,称为被积表达式,.,定义3.1 设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A为起,若,C,为闭曲线，,C,的正方向指的是，当点沿着曲线,C,按所选定取积分的方向运动时，,C,所围区域始终在它的左侧，这时函数,f,(,z,),沿曲线,C,的积分记作,若C为闭曲线，C的正方向指的是，当点沿着曲线C按所选定取积分,2.,复变函数积分的性质,性质,3.1,（方向性）若函数,f,(,z,),沿曲线,C,可积，则,性质,3.2,（线性性）若函数,f,(,z,),和,g,(,z,),沿曲线,C,可积，则,其中,为任意常数,.,性质,3.3,（对积分路径的可加性）若函数,f,(,z,),沿曲线,C,可积，曲线,C,由曲线段,依次首尾相接而成，则,2.复变函数积分的性质性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲,性质,3.4,（积分不等式）若函数,f,(,z,),沿曲线,C,可积，且对,满足,曲线,C,的长度为,L,则,其中,为曲线,C,的弧微分,.,记,s,k,为,z,k,-1,与,z,k,之间的弧长,两端取极限,性质3.4（积分不等式）若函数f(z)沿曲线C可积，且对其中,3.,复变函数积分的基本计算方法,定理,3.1,若函数,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+i,v,(,x,y,),沿曲线,C,连续，则,f,(,z,),沿,C,可积，且,证明：,3.复变函数积分的基本计算方法定理3.1 若函数f(z)=,已知,f,(,z,),沿,C,连续，所以必有,u,、,v,都沿,C,连续，于是这两个第二类曲线积分都存在,.,因此积分存在，且,参数方程法,设,C,为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为,参数,t,=,a,时对应曲线,C,的起点，,t,=,b,时对应曲线,C,的终点,.,已知f(z)沿C连续，所以必有u、v都沿C连续，于是这两个,设,f,(,z,),沿曲线,C,连续，则,设f(z)沿曲线C连续，则,例,3.1,分别沿下列路径计算积分 和,(1),C,为从原点,(0,0),到,(1,1),的直线段；,(2),C,为从原点,(0,0),到,(1,0),再到,(1,1),的直线段,.,解,：,(1),C,的参数方程为：,z,=(1+,i,),t,t,从,0,到,1.,(2),把从原点（,0,，,0,）到（,1,，,0,）和从（,1,，,0,）到（,1,，,1,）这两直线段分别记为,C,1,和,C,2,C,1,的参数方程为：,y,=0,x,从,0,到,1;,C,2,的参数方程为：,x,=1,y,从,0,到,1.,例3.1 分别沿下列路径计算积分 和(,复变函数积分的概念ppt课件,例,3.2,计算积分,其中,C,为图,3.2,所示半圆环区域的正向边界,.,解,：积分路径可分为四段：,C,1,:,z,=,t,(-2,t,-1);,C,2,:,z,=,从,到,0;,C,3,:,z,=,t,(1,t,2);,C,4,:,z,=,从,0,到,.,例3.2 计算积分 ,其中C为图3.2所,例,3.3,计算积分,其中,C,为以,z,0,为中心，,r,为半径的正向圆周，,n,为整数,.,解,：曲线,C,的方程为：,当,n,=0,时,当,n,0,时，,例3.3 计算积分,3.2,柯西,-,古萨定理及其推广,1.,柯西,-,古萨,(Cauchy-Goursat),定理,假设函数,f,(,z,)=,u,+i,v,在单连通域,D,内处处解析，,f,(,z,),在,D,内连续,u,v,对,x,y,的偏导数在,D,内连续,.,设,z,=,x,+i,y,，,C,为,D,内任一条简单闭曲线,.,记,G,为,C,所围区域，由格林,(Green),公式有,由于,f,(,z,)=,u,+i,v,在,D,内解析，所以,u,v,在,D,内处处都满足柯西,-,黎曼方程,即,3.2 柯西-古萨定理及其推广1.柯西-古萨(Cauch,因此,从而,定理,3.2,（柯西,-,古萨定理）若函数,f,(,z,),是单连通域,D,内的解析函数，则,f,(,z,),沿,D,内任一条闭曲线,C,的积分为零，即,任意一条闭曲线都可以看成是由有限多条简单闭曲线衔接而成的。,因此从而定理3.2（柯西-古萨定理）若函数f(z)是单连,推论,3.1,设,C,为,z,平面上的一条闭曲线，它围成单连通域,D,若函数,f,(,z,),在 上解析，则,推论,3.2,设函数,f,(,z,),在单连通域,D,解析,则,f,(,z,),在,D,内积分与路径无关,.,即积分 不依赖于连接起点,z,0,与终点,z,1,的曲线,C,而只与,z,0,、,z,1,的位置有关,.,证明：,设,C,1,和,C,2,为,D,内连接,z,0,与,z,1,的任意两条曲线,.,显然,C,1,和 连接成,D,内一条闭曲线,C.,推论3.1 设C为z平面上的一条闭曲线，它围成单连通域D,由柯西,-,古萨定理,2.,原函数,函数,f,(,z,),沿曲线,C,1,和,C,2,的积分又可以表示为,固定下限,z,0,，让上限,z,1,在区域,D,内变动，并令,z,1,=,z,则确定了一个关于上限,z,的单值函数,并称,F,(,z,),为定义在区域,D,内的积分上限函数或变上限函数,.,由柯西-古萨定理 2.原函数 函数f(z)沿曲线C1和C2的,定理,3.3,若函数,f,(,z,),在单连通域,D,内解析，则函数,F,(,z,),必在,D,内解析，且有,F,(,z,)=,f,(,z,).,*,证明：,若,D,内任取一点,z,以,z,为中心作一个含于,D,内的小圆,B,，在,B,内取点,积分与路径无关,f,(,z,),是与积分变量,无关的值,定理3.3 若函数f(z)在单连通域D内解析，则函数F(z,又,f,(,z,),在,D,内解析，显然,f,(,z,),在,D,内连续,.,所以对于任给的,必存在,使得当,(,且,落在圆,B,内,),，即当 时，总有,又f(z)在D内解析，显然f(z)在D内连续.所以对于任给,也就是,即,定义,3.2,若在区域,D,内，,(,z,),的导数等于,f,(,z,),，则称,(,z,),为,f,(,z,),在,D,内的原函数,.,变上限函数 为,f,(,z,),的一个原函数,.,那么函数,f,(,z,),的全体原函数可以表示为,其中,C,为任意常数,.,也就是 即定义3.2 若在区域D内，(z)的导数等于f(,定理,3.4,若函数,f,(,z,),在单连通域,D,内处处解析，,(,z,),为,f,(,z,),的一个原函数，则,其中,z,0,、,z,1,为,D,内的点,.,证明：,为,f,(,z,),的一个原函数,.,当,z,=,z,0,时，根据柯西,-,古萨定理可知,定理3.4 若函数f(z)在单连通域D内处处解析，(z,例,3.4,求积分 的值,.,解,：因为,sin2,z,在复平面上解析，所以积分与路径无关,.,例3.4 求积分 的值.解,例,3.5,求积分 的值,.,解,：因为,(,z,-1)e,-,z,在复平面上解析，所以积分与路径无关,.,上式右边第一个积分的计算可采用分部积分法，第二个积分可用凑微分法,.,例3.5 求积分 的,3.,复合闭路定理,设有,n,+1,条简单闭曲线,C,0,、,C,1,、,C,2,、,、,C,n,其中,C,1,、,C,2,、,、,C,n,互不相交也互不包含，并且都含于,C,0,的内部,.,这,n,+1,条曲线围成了一个多连通区域,D,D,的边界,C,称作复闭路，它的正向为,C,0,取逆时针方向，其它曲线都取顺时针方向,.,因此复闭路记作,定理,3.5,若,f,(,z,),在复闭路 及其所围成的多连通区域内解析，则,也就是,3.复合闭路定理 设有n+1条简单闭曲线C0,做辅助线,l,1,、,l,2,和,l,3,将,C,0,、,C,1,及,C,2,连接起来，从而把多连通区域,D,划分为两个单连通区域,D,1,及,D,2,，并分别用,1,及,2,表示这两个区域的边界,.,由柯西,-,古萨定理,做辅助线l1、l2和l3将C0、C1及C2连接起来，从而把多,例,3.6,计算 的值,C,为包含圆周,|,z,|=1,在内的 任何正向简单闭曲线,.,解,：显然,z,=0,和,z,=-1,是函数 的两个奇点，由于,C,为包含圆周,|,z,|=1,在内的任何正向简单闭曲线，因此也包含了这两个奇点,.,在,C,的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周,C,1,和,C,2,，其中,C,1,的内部只包含奇点,z,=-1,，,C,2,的内部只包含奇点,z,=0.,在由,C,、,C,1,、,C,2,所围成的多连通域内解析,例3.6 计算 的值,C为包含圆周|,3.3,柯西,积分公式及其推论,1.,柯西,(Cauchy),积分公式,定理,3.6,若,f,(,z,),是区域,D,内的解析函数，,C,为,D,内的简单闭曲线，,C,所围内部全含于,D,内，,z,为,C,内部任一点，则,其中积分沿曲线,C,的正向,.,上式称为柯西积分公式,.,证明,：取定,C,内部一点,z,.,因为,f,(,z,),在,D,内解析，所以,f,(,z,),在点,z,连续,.,即对任给的,0,必存在,0,当时,有,.,令,则 在,D,内除去点,z,外处处解析,.,现以,z,为中心，,r,为半径作圆周,使圆,B,的内部及边界全含于,C,的内部,.,3.3 柯西积分公式及其推论1.柯西(Cauchy)积,根据复合闭路定理有,令 ，只需证明,而,f,(,z,),与,x,无关,.,根据复合闭路定理有令 ，只需证明,而f(,若函数,f,(,z,),在曲线,C,上恒为常数,K,z,0,为,C,内部任一点，则根据柯西积分公式,即,f,(,z,),在曲线,C,的内部也恒为常数,K,.,若,C,为圆周,:,即,则,从而,解析函数在圆心,z,0,处的值等于它在圆周上的平均值，这就是,解析函数的平均值定理,.,若函数f(z)在曲线C上恒为常数K,z0为C内部任一点，则根,若,f,(,z,),在简单闭曲线,C,所围成的区域内解析，且在,C,上连续，则柯西积分公式仍然成立,.,柯西积分公式可以改写成,例,3.7,计算积分 的值,.,解,：因为,z,2,+1,在,|,z,|=2,内解析,若f(z)在简单闭曲线C所围成的区域内解析，且,例,3.8,计算积分 的值，其中,C,为,:,解：,(1),被积函数 在 的内部解析,(2),被积函数 在 的内部解析,例3.8 计算积分 的值,(3),被积函数在,|,z,|=3,的内部有两个奇点,.,在,C,的内部作两个互不包含互不相交的正向