均值不等式,第,1,课时 均值不等式,均值不等式,服务员,:,电子秤坏了,但有一架臂长不等的天平,.,我有个好办法,!,王大妈,:,我买这包糖,.,服务员:电子秤坏了,但有一架臂长不等的天平.我有个好办法!王,称得,a(kg),称得a(kg),称得,b(kg),称得b(kg),服务员,:,把两次称得的质量平均一下肯定是您所买的糖的质量,绝对不会错的,!,即,:=,糖果真正质量,m,嗯,我真聪明,这样的难题都难不倒我,!,称得,b(kg),称得,a(kg),服务员:把两次称得的质量平均一下肯定是您,王大妈,:,对不对,我会不会吃亏,?,让我好好想一想,!,真后悔高中的时候没读好书啊,哦,这也难不倒我老人家,凡事多问是我几十年的经验,!,现在高中的同学们正在学习不等式比较大小,就麻烦他们吧！同学们,赶快帮我想一想,告诉我结果,!,王大妈:对不对,我会不会吃亏?让我好好想一想!真后悔高中,结论：,物体的真实质量为：,，,而,a,b,的平均值为,思考：,这两者之间的关系如何？本节课我们来学习此内容,结论：物体的真实质量为：，而a,b的平均值为思考,1.,了解算术平均值与几何平均值的定义及它们的关系,.,2.,理解均值不等式的证明过程，会用多种方法证明均值不等式,.,（重点）,3.,能利用均值不等式证明简单不等式,.,（难点）,1.了解算术平均值与几何平均值的定义及它们的关系.,定理：,如果,a,，,b,R,，那么,a,2,+b,2,2ab,（当且仅当,a=b,时取“,=”,）,证明：,探究点：,均值不等式,定理：如果a，bR，那么a2+b22ab证明：探究点：均,1,指出定理适用范围：,2,强调取“,=”,的条件：,均值定理：,如果,a,bR,+,，那么,（当且仅当,a=b,时，等号成立）,1指出定理适用范围：,注意：,1.,均值不等式,(1),均值不等式成立的条件,:_.,(2),等号成立的条件,:,当且仅当,_,时取等号,.,a0,b0,a=b,注意：a0,b0a=b,2.,算术平均值与几何平均值,设,a0,b0,，则,a,b,的算术平均值为,_,几何平均值,为,_,，均值定理可表述为：,_,_.,两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何,平均值,这个不等式，在证明不等式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们也称它为,基本不等式,.,2.算术平均值与几何平均值两个正实数的算术平均值大于或等于它,3.,几个重要的不等式,(1)a,2,+b,2,_(a,bR).,(2)_(a,b,同号,).,(3)(a,bR).,(4)(a,bR).,2ab,2,3.几个重要的不等式2ab2,从,形的角度,来看，基本不等式具有特定的几何意义；,从,数的角度,来看，基本不等式揭示了,“和”,与,“积”,这两种结构间的不等关系,.,从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；,把,看做两个,正数,a,，,b,的等差中项，,看做,正数,a,，,b,的等比中项，,那么上面不等式可以叙述为：,两个正数的等差中项,不小于,它们的等比中项,.,还有没有其他的证明方法证明上面的基本不等式呢,?,引申：,把看做两个正数a，b的等差中项，看做正数a，b的等比中项，那,几何直观解释：,令正实数,a,，,b,为两条线段的长，用几何作图的方法，,作出长度为 和 的两条线段，然后比较这,两条线段的长,.,具体作图如下：,（,1,）作线段,AB=a+b,，使,AD=a,，,DB=b,；,（,2,）以,AB,为直径作半圆,O,；,（,3,）过,D,点作,CDAB,于,D,，交半圆于点,C,；,几何直观解释：令正实数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法,（,4,）连接,AC,，,BC,，,OC,则,当,a,b,时，,OCCD,，即,当,a=b,时，,OC=CD,，即,ab,a+b,2,b,a,O,D,C,B,A,注：“均值不等式的几何解释，我们通常将其说成“半径不小于半弦”,.,所以 当且仅当,a=b,时，不等式中的等号,成立,.,（4）连接AC，BC，OC,则当ab时，OCCD，即当a,例已知,ab0,，求证：，并推导出式中等号成立的条件,.,例已知ab0，求证：，并推导出式中等,证明：,因为,ab0,，所以 ，,根据均值不等式得,即,当且仅当 ，即,a,2,=b,2,时式中等号成立，,因为,ab0,，即,a,，,b,同号，所以式中等号成立的条件是,a=b.,证明：因为ab0，所以 ，即当且仅,变式练习,（,1,）证明：,a,4,+,b,4,+,c,4,+,d,4,4,abcd,.,(2),已知,a,0,b,0,a,+,b,=1,求证,:,证明,:,（,1,）,a,4,+b,4,+c,4,+d,4,2a,2,b,2,+2c,2,d,2,=2(a,2,b,2,+c,2,d,2,)2,2abcd=4abcd.,当且仅当,a=b=c=d,时，式中等号成立,原不等式得证,.,变式练习（1）证明：a4+b4+c4+d44abcd.,（,2,）因为,a0,b0,a+b=1,，,当且仅当 即,a,2,=b,2,时式中等号成立,.,因为,a,0,b,0,所以式中等号成立的条件是,所以原不等式成立,.,（2）因为a0,b0,a+b=1，,1.,下列结论中不正确的是 （）,A.B.,C.a,2,+b,2,2ab D.,B,1.下列结论中不正确的是 （）B,2.,若,a,b,0,则下列不等式中总成立的是,(),C,2.若ab0,则下列不等式中总成立的是()C,3.,已知,x0,y0,z0.,求证：,3.已知x0,y0,z0.,证明：,因为,x0,y0,z0,当且仅当,x=y=z,时等号成立,.,证明：因为x0,y0,z0,应用均值不等式需注意以下三点：,（,1,）各项或各因式为,正,.,（,2,）和或积为,定值,.,（,3,）各项或各因式能取得,相等的值,，必要时做适当变形，以满足上述前提，即“,一正二定三相等,”,.,应用均值不等式需注意以下三点：,预备十二分的力量，才能希望有十分的成功,.,张太雷,预备十二分的力量，才能希望有十分的成功.,