,*,2.10 函数的凸性与曲线的拐点,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,一、,函数,凸性的定义,2.10 函数的凸性与曲线的拐点问题:如何研究曲线的弯曲,1,图形上任意弧段位,于所张弦的上方,图形上任意弧段位,于所张弦的下方,下凸,上凸,图形上任意弧段位图形上任意弧段位下凸上凸,2,点间的弧段，总位于连接这两点的弦之上，则称,设,f,(,x,)在区间,a,b,上连续，若曲线,y=f,(,x,)上的任意,两点间的弧段,总是位于连接这两点的弦之下,则称,函数,f,(,x,)在(,a,b,)内为,下凸,；若曲线,y=f,(,x,)上任意两,函数,f,(,x,)在(,a,b,)内为,上凸,;,函数,下凸或上凸,的性质,统称为函数的,凸性,.,定义：,点间的弧段，总位于连接这两点的弦之上，则称设f(x)在区间,3,函数的凸性与曲线的拐点课件,4,凸,凸,5,有时也用这两个不等式来定义,函数上凸、下凸.,下凸,上凸,上凸,有时也用这两个不等式来定义下凸上凸上凸,6,琴生不等式,琴生不等式,7,二、函数凸性的判定,证明见P187,二、函数凸性的判定证明见P187,8,例1,解,注意到:,例1解注意到:,9,三、曲线的拐点及其求法,1.定义 设,f,(,x,)在点,x,0,附近连续，若,f,(,x,)在点,x,0,的左右两侧凸性相反，则称曲线上的点(,x,0,f,(,x,0,)为,曲线,y,=,f,(,x,)的拐点.,注意:,(1)拐点(,x,0,f,(,x,0,)在曲线上,必满足曲线方程；,(2)拐点(,x,0,f,(,x,0,)是两个坐标,与,f,(,x,)的极值点不同.,拐点,(,x,0,f,(,x,0,),三、曲线的拐点及其求法1.定义 设 f(x)在点x0附近,10,2.拐点的求法,数,则点,是拐点的必要条件是,定理,2,如果,),(,x,f,在,内存在二阶导,2.拐点的求法数,则点是拐点的必要条件是定理2 如果)(x,11,注意:,注意:,12,例2,解,例2解,13,综上所述可归纳出,求曲线 拐点的步骤：,综上所述可归纳出求曲线 拐点的步骤：,14,例3,解,下凸,上凸,下凸,拐点,拐点,例3解下凸上凸下凸拐点拐点,15,函数的凸性与曲线的拐点课件,16,例4,解,例4解,17,解 函数的定义域为（-，+）.,下凸,非拐点,下凸,拐点,上凸,+,不存在,+,0,-,0,y,x,解 函数的定义域为（-，+）.下凸非拐点下凸拐点上凸,18,x,y,o,拐点,xyo拐点,19,2-11 函 数 作 图,一、渐近线,定义:,.,一条渐近线,的距离,到某定直线,如果点,移向无穷远点时,L,P,),(,的,就称为曲线,那么直线,趋向于零,x,f,y,L,=,),(,沿着曲线,上的一动点,当曲线,P,x,f,y,=,1.铅直渐近线,2-11 函 数 作 图一、渐近线定义:.一条,20,例如,有铅直渐近线两条:,例如有铅直渐近线两条:,21,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:,22,3.斜渐近线,其中：,记住公式,3.斜渐近线其中：记住公式,23,直线,y,=,a x+b,是曲线,y=f,(,x,)当,x,时的,证 由函数的极限与无穷小的关系可得：,同理可证,x,-时的情况.,渐近线的充要条件是：,直线 y=a x+b是曲线 y=f(x)当x时的证,24,注意:,例1,解,注意:例1解,25,函数的凸性与曲线的拐点课件,26,二、图形描绘的步骤,利用函数特性描绘函数图形的步骤：,域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数,不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,.,偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,确定函数,),(,x,f,y,=,的定义域,对函数进行奇,1.,和二阶导数,求出函数的一阶导数,求出方程,在函数定义,2.,二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形的步骤：域内的全部,27,号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的,曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综,凸性与拐点,（,可列表进行讨论）；,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线,4.,合前四步讨论的结果画出函数的图形,.,3.,确定在这些部分区间内,的符,5.,以及其他变化趋势;,描出与方程,的根对,应的,号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的曲线上的点，有时还需,28,三、作图举例,例2,解,非奇非偶函数,且无对称性.,三、作图举例例2解非奇非偶函数,且无对称性.,29,不存在,拐点,极值点,间断点,(4)渐近线,不存在拐点极值点间断点(4)渐近线,30,（5）补充点并作图,-2,-2,不存在,拐点,极值点,间断点,（5）补充点并作图-2-2不存在拐点极值点间断点,31,例3,解,偶函数,图形关于,y,轴对称.,例3解偶函数,图形关于y 轴对称.,32,拐点,极大值,拐点,A,B,拐点极大值拐点AB,33,