,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,以旧“唤”新，告别陌生,-,浅谈双三角模型,1:,说背景,2:,说题目,3:,说解法,4:,说思想,5:,说反思,6:,说小结,在直线上摆放着三个正方形,.,如图,1,，已知水平放置的两个正方形的边长依次是,a,b,.,斜着放置的正方形的面积,S=_,，两个直角三角形的面积和为,_,；（均用,a,b,表示）,如图,2,，小正方形的面积,S,1,=1,，斜着放置的正方形的面积,S=4,，求图中两个钝角三角形的面积,m,1,和,m,2,，并给出图中四个三角形的面积关系；,图,3,是由五个正方形所搭成的平面图，,T,与,S,分别表示所在三角形和正方形的面积，试写出,T,与,S,的关系式，并利用和的结论说明理由,.,原题再现,:,此题是宁波市,2011,年考试大纲中模拟卷一的第,26,题（即最后一题）。,此题主要考察了学生对直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形等知识的综合应用，及读图，分析，归纳，类比等能力。,此题分为三个小题，由易到难，步步为营，环环紧扣，符合,的要求。,说背景,说题目,本题第,1,问，已知两小正方形的边长，求大正方形的面积及两直角三角形的面积和。,本题第,2,问，已知两正方形面积，求新建两钝角三角形面积及图中四个三角形之间的面积关系。,m,2,m,1,S,2,S,1,图,2,S,图,1,b,a,S,说解法,解析：以,m,1,为例：过,A,作高,AH,易证,ADHDKP(AAS),易证,m,1,=m,2,=S,DKP,=S,EPQ,=,本题第,1,问，求,S,及两三角形面积和。,本题第,2,问，求两钝角三角形面积以及图中四个三角形之间的面积关系,.,图,1,b,a,S,P,H,E,D,Q,F,C,K,G,B,A,m,2,m,1,S,2,S,1,图,2,AH=KP=EQ,得,m,1,=,解析：由全等三角形可知，,S=a,2,+b,2,两直角三角形面积和,=,ab,说题目,第,3,问，建立在,1,2,小题图形基础上再构造，已知,5,个正方形，,1,2,小题的结论和证明过程，以及图形中的直角关系，求三角形,T,和正方形,S,的面积关系。,说反思,K,Q,F,G,P,本题,1,2,小题，重点考察用全等三角形，难度不大，但依然在第二小题失分较多，原因在于学生对钝角三角形高在三角形外部这个知识的理解出现了偏差，有些作出了高却依然想不到类比第,1,小题的全等思路。,解析：连接,BC,，,思路：先证,S,ABC,=S,再证,S,ABC,=T,则,T=S,说解法,第,3,问，求三角形,T,和正方形,S,的面积关系。,先证,S,ABC,=S,S,ABC=,S,由,(1)(2),小题可知：,说解法,F,G,K,P,Q,A,B,C,N,M,T,图,3,S,a,a,b,b,通过面积计算可得,W,R,F,G,K,P,Q,A,B,C,N,M,T,图,3,S,说解法,1,再证,T=S,ABC,过,N,作,NRAM,过,B,作,BWAC,易证,ANRABW(AAS),NR=BW,又,AM=AC,S,AMN,=S,ABC,即,T=S,ABC,解法,1,：作高，证全等,S,ABC,=S T=S,W,R,F,G,K,P,Q,A,B,C,N,M,图,3,S,T,双三角模型,-,面积相等,倍长中线法,证明：双三角模型面积相等,易知,ADNABC(SAS),(,理由,:,NAM+DNA=180,NAM+BAC=180,DNA=BAC,又,DN=AM=AC,NA=AB),构造平行四边形,AMDN,说解法,2,O,D,A,B,C,N,M,又,DNOAMO,S,NAM,=S,ABC,易证,AHEABD;AFGADC,作高，两次全等,证明：双三角模型面积相等,作,ADBC,并延长交,HG,于点,P,，,作,HEAP,FGAP,P,E,F,D,G,H,C,B,A,说解法,3,HE=AD=FG,又证,PHEPFG,S,HAG,=S,ABC,解法,4,：三角函数面积公式,已知：如图,RtMDF,RtDEF,，点,A,和点,O,分别是所在三角形内心，,S,ADOF,=5,，求,S,HDPNFG,解析：作,DB=DH,，,FC=FG,，,由内心可知，,A,，,O,是角平分线交点，则,HAG=PON=135,，,由全等三角形得,HAB=GAC=90,S,HDPNFG,=2S,ADOF,=10,说应用,双三角模型,E,P,N,C,B,O,G,H,M,F,D,A,B,G,H,C,A,甬真重高,引申,1,：,AB=,kAD,AC=,kAE,则,S,ADE,：,S,ABC=,1,：,k,2,说引申,1,双三角模型,-,变：边长成比例,将双三角模型证明面积相等中的,全等三角形,方法转化为,证明,相似三角形,。,C,B,C,B,E,D,A,C,B,E,D,A,2011,盐城中考最后压轴题,说引申,2,双三角模型,-,变：角度,条件：,HAB+GAC=180,结论：,S,AHG,=S,ABC,H,G,A,C,B,m,2,m,1,S,2,S,1,图,2,S,T,图,3,S,再回首,说思想,本题的设计考察了用字母表示数，转化、类比的数学思想方法，且有效地考查了学生对知识的迁移、重组能力，能充分展现学生的学习能力和应用能力。,相比来说，本题第,3,小题，则是以能力立意的试题。,说反思,解决本题的关键在于,找到辅助,ABC,，,再运用模型和转化思想。,原题：正方形,ABDQ,和,ACGF,（,1,）若已知,M,是,DF,中点，,则,MA,延长线与,BC,垂直。,（,2,）其逆命题也成立。,即已知,ANBC,求证：,NA,反向延长线交于,DF,中点,M,F,G,A,C,B,N,M,D,Q,本题通过对一道中考模拟题提炼出双三角模型，通过一模多解和一模多变的方法，将初中知识涉及到的重点知识,-,全等三角形，相似三角形，图形变换，以及重要思想,-,转化和类比，归纳总结等加以落实，以点见面，在教学中让学生明白基本模型的重要性。,一叶知秋，题海不是解决问题的最好方法，如果能够深入研究我们的典型题和一些基本的数学模型，相信所有的题目都万变不离其宗,-,就如此题。,谢谢指导!,说应用,2,已知梯形,CDEF,以,CD,EF,为边分别作正方形,ABCD,和,EGGH,，,NP,是,DE,的中垂线，过,A,作,ANNP,过,H,作,HMNP,求证：,AN=MH,解析：过,O,作,OS/CD,OT/EF,平移正方形,ABCD,EFGH,如图所示，即证,AN=MH,可以转化为证明,RN=MK,S,T,V,R,K,Q,易证,ORNOSP;OMKOPT,RN=OP=MK,AN=MH,O,双三角模型,面积相等证法,3,Add Your Title,说思想,说解法,说背景,说题目,说思想,说解法,说背景,6.,说小结,1.,说题目,2.,说背景,3.,说解法,4.,说思想,5.,说反思,1.,说题目,2.,说背景,3.,说解法,4.,说思想,6.,说小结,5.,说反思,