单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,ppt课件,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,一、偏导数的定义及其计算法,第二节 偏导数和全微分,1,ppt课件,一、偏导数的定义及其计算法第二节 偏导数和全微分1ppt课,2,ppt课件,2ppt课件,3,ppt课件,3ppt课件,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,4,ppt课件,偏导数的概念可以推广到二元以上函数如,解,证,解,例,5,ppt课件,解证解例5ppt课件,证,6,ppt课件,证6ppt课件,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,7,ppt课件,有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要,、偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导,连续，,多元函数中在某点偏导数存在,连续，,8,ppt课件,、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存,4、偏导数的几何意义,如图,9,ppt课件,4、偏导数的几何意义如图9ppt课件,几何意义:,10,ppt课件,几何意义:10ppt课件,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,二、高阶偏导数,11,ppt课件,纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,解,解,12,ppt课件,解解12ppt课件,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,解,13,ppt课件,问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？解13p,课堂思考题,14,ppt课件,课堂思考题14ppt课件,思考题解答,不能.,例如,15,ppt课件,思考题解答不能.例如,15ppt课件,解,16,ppt课件,解16ppt课件,证,原结论成立,17,ppt课件,证原结论成立17ppt课件,解,18,ppt课件,解18ppt课件,不存在,19,ppt课件,不存在19ppt课件,解,20,ppt课件,解20ppt课件,解,21,ppt课件,解21ppt课件,解,22,ppt课件,解22ppt课件,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,三、全微分的定义,23,ppt课件,由一元函数微分学中增量与微分的关系得三、全微分的定义23pp,全增量的概念,24,ppt课件,全增量的概念24ppt课件,全微分的定义,25,ppt课件,全微分的定义25ppt课件,事实上,26,ppt课件,事实上26ppt课件,四、可微的条件,27,ppt课件,四、可微的条件27ppt课件,证,总成立,同理可得,28,ppt课件,证总成立,同理可得28ppt课件,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,例如，,29,ppt课件,一元函数在某点的导数存在 微分存在,则,当 时，,30,ppt课件,则当 时，30ppt课件,说明,：多元函数的各偏导数存在并不能保证全,微分存在，,证,31,ppt课件,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全证31ppt课件,（依偏导数的连续性）,32,ppt课件,（依偏导数的连续性）32ppt课件,同理,33,ppt课件,同理33ppt课件,习惯上，记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合,叠加原理,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,34,ppt课件,习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,解,所求全微分,35,ppt课件,解所求全微分35ppt课件,解,36,ppt课件,解36ppt课件,解,所求全微分,37,ppt课件,解所求全微分37ppt课件,证,38,ppt课件,证38ppt课件,多元函数连续、可导、可微的关系,函数可微,函数连续,偏导数连续,函数可导,39,ppt课件,多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数,证,令,则,同理,40,ppt课件,证令则同理40ppt课件,不存在,.,41,ppt课件,不存在.41ppt课件,42,ppt课件,42ppt课件,证,五、复合函数的为分法：链式法则,43,ppt课件,证五、复合函数的为分法：链式法则43ppt课件,44,ppt课件,44ppt课件,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况,.,如,以上公式中的导数 称为,全导数,.,45,ppt课件,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导,解,46,ppt课件,解46ppt课件,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,47,ppt课件,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函,链式法则如图示,48,ppt课件,链式法则如图示48ppt课件,49,ppt课件,49ppt课件,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,50,ppt课件,特殊地即令其中两者的区别区别类似50ppt课件,解,51,ppt课件,解51ppt课件,六 隐函数的微分法,52,ppt课件,六 隐函数的微分法52ppt课件,53,ppt课件,53ppt课件,54,ppt课件,54ppt课件,55,ppt课件,55ppt课件,解,56,ppt课件,解56ppt课件,