单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,版权所有,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,化工系统工程,第二章 数学模型,授课教师：杜可杰,化学化工学院,化工系统工程第二章 数学模型,2,第二章,数学模型,p11,本章内容,概念、定义与分类,过程系统模型及其自由度,机理模型,经验模型及其建模方法,流程结构模型,流程模拟基本模型*,过程单元模型*,关于数学模型预测性检验的探讨*,2 第二章 数学模型 p,化工过程模拟,-,化工系统工程的重要手段,化工过程系统,A,化工过程系统,B,特性相似,复杂，无法求解或预知效果,简单，容易试验或求解,利用一个方便、经济而性能相似的,系统,B,来模仿复杂系统,A,，称为仿真（,simulation,），,B,称为,A,的模型。,化工过程模拟化工过程系统A化工过程系统B特性相似复杂，无法求,2.1,概念、定义与分类,模型：,可描述、表现原型某种特性的替代物,物理模型,physical model,实物模型,concrete model,分类：,概念模型,conceptual model,数学模型,mathematical model,？,数学模型是建模的最高境界，是对原型认识深刻、研究透彻的体现。（,p11,王教授语）,什么是,数学模型,？,2.1.1,模型（,model,）,描述的是目标系统“如何做”,“,如何实现,”,的物理过程,依靠物质的基本形态所做的模仿,基于概念开发的模型。是关于某种系统一系列在构想、概念上的描述，叙述其如何作用。,2.1 概念、定义与分类 模型：可描述、表现原型某种特性,A model is anything used in any way to represent anything else,They are used to help us,know,and,understand,the subject matter they represent.,A model is anything used in an,化工系统工程-化工系统工程-02_第3讲-数学模型课件,化工系统工程-化工系统工程-02_第3讲-数学模型课件,Case 1,：,y=2*x,是数学模型,；,y=x,2,是数学模型,；,Case 2,：,y,1,=2*x,y,2,=x,2,方程组，,是数学模型,；,Case 3,：,y,1,=2*x,1,+5x,2,2,y,2,=x,1,2,+3*x,2,方程组，,也是数学模型,；,如何表述,？,热力学方程,?,数学模型,Case 1：热力学方程?数学模型,数学模型：变量之间的约束关系,数学模型是一套数学关系式或数学符号,，这些关系式或符号描述了系统的各种因素、特征、变量之间的数量关系或逻辑关系，是原型特性的,数学描述,。比如状态方程就是流体,PVT,关系的数学模型（,f(p,T,V)=0,或,P=P(T,V),。,数学模型：变量之间的约束关系 数学模型是一套数学关系式,数学模型,的分类,流程模拟系统设计,角度：物性模型、过程单元模型、,建模的方式和信息依据：机理模型、经验模型,(?),对象的概率特性,：确定模型、随机模型,（变量之间的关系是否以统计值的形式给出,）,对象的时变特性,:,定态（稳态）模型、动态模型,对象的空间特性,：集中参数模型、分布参数模型,（,参数是否与空间位置有关,）,实际使用目的,：操作型模型、设计型模型,系统结构模型,等,数学模型的分类（,p11,）,流程模拟系统设计角度：物性模型、过程单元模型、建模的方式和信,2.1.3,运用模型方法的实例（,P12,）例,2-1,如图,2-1,，在边长为,2,的正方形中内接一个圆。在正方形面积内随机地打上,N,个点，其中有,n,个点落在内接圆中。如,N,足够大，可认为,n,与,N,之比近似等于圆形与正方形面积之比。即,图,2-1 Monte Carlo Method,蒙特卡罗方法计算圆周率,与概率方法无关的问题可以用概率的方法来解决,!,故当,N,足够大时，有,蒙特卡罗,(?),方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数,有特定的程序）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。,2.1.3 运用模型方法的实例（P12）例2-1 如图,物性模型：,是流程模拟中的最,基本的模型,。其作用主要是解决被加工物料的状态计算问题。通常包括焓、逸度、密度、压力、温度、相态、组成等计算。方法或理论来源自化工（学）热力学、物理化学。,单元模型：,是为了解决基本单元过程与设备的计算问题，方法或理论来源有化工原理、反应工程、分离工程、传递过程等。,结构模型：,是描述整套装置中各个单元过程之间联系方式的模型。,经济模型,:,经济分析,控制模型,:,动态模拟,用户接口,：自编模型,流程模拟系统中的模型,2.1.4,流程模拟系统中的模型,物性模型：是流程模拟中的最基本的模型。其作用主要是解决被加工,2.1.5,评价模型的标准,适用、简单、,预测性好,是评价模型的根本标准。模型的好坏与是否使用了复杂的方法、是否使用了前沿的成果、是否使用了时髦的理论完全无关。（王教授语）,2.1.5 评价模型的标准 适用、简单、预测性好是评,设：所需求解的问题有,m,个未知变量，可列出的独立方程数有,n,个，,m,与,n,的关系有以下三种情况：,m=n，,即独立方程数与未知变量数正好相等，方程组有唯一解。,m n，,即独立方程数多于未知变量数，方程组有多余的方程，不同方程,之间出现矛盾，称为矛盾方程组，方程组无解。,m n，,未知变量数多于独立方程数，方程组有无穷多组解，称为不定方,程组。,2.,2化工过程系统模型及其自由度,只有将多余的f,=m-n,个未知变量值事先给定，使得真正的未知数减少,f,个，未知变量数等于独立方程数，方程组才有唯一解。,自由度 f,=m-n,过程模拟的本质：用适当的方法求解不同类型、不同规模的方程组。,设：所需求解的问题有 m 个未知变量，可列出的独立方程数有,化工过程的自由度该如何确定？能否直接用经典的自由度法则,“,相律,”,来确定？,相律：对于一个多组分、多相的平衡系统，自由度=？,实际化工过程工程的研究对象和关注点（PSE的特点之一）：？,化工单元或流程的独立变量数,m,无非由两种变量构成：,一种是流股的独立变量；,一种是单元的设备参数,如分流器的分流比；换热器的热负荷；塔板数,泵与压缩机的压力降,P,；反应器的反应程度等,。,“对于一个已知每个组分的初始质量的封闭系统，其平衡态完全取决于两个变量而不论有多少相，多少组分或多少化学反应。”这两个独立变量就是,温度与压力。,实际化工过程工程的研究对象和关注点（PSE的特点之一）：？“,Remarks：,相律只适用于强度变量,即独立于系统大小的那些变量，如,T,、,P,、,化学位、浓度等，对于流程模拟中要涉及到的流率、体积等广度变量,即与系统大小密切相关的变量并不适用。,Remarks：,2.2.1,流股的独立变量数（自由度）,流股的独立变量数，,就是流股所需指定的最少变量数,。,（,直观分析,）若指定了,T,、,P,及各组分流量，则在相平衡、化学平衡条件下这一流股便被完全确定了。,（,理论依据,）根据著名的杜亥姆定律（,Duhams Theorem,）,来证明这一直观认识。其定律内容为：“对于一个已知每个组分的初始质量的封闭系统，其平衡态完全取决于两个变量而不论有多少相，多少组分或多少化学反应。”这两个独立变量就是,温度与压力,。（,再考虑物质的量,）,流股自由度=,c+2,化工系统工程-化工系统工程-02_第3讲-数学模型课件,对于一个由,c,个组分构成的流股：,流股自由度=,c+2,（,c+2,）,个独立变量数通常是指流股的温度,T,、,压力,P,、,各组分流量,F,i,（,i=1,，,2,，,，,c,）。,各组分流量,Fi,也可以用总流量,F,和（,c-1,）,个组分的含量来代替。,在此需注意一点：由于在利用杜亥姆定律求流股自由度的过程中，方程用到了流股的摩尔分数加和方程 ，所以在此后的化工单元及流程的自由度分析中，该方程不再作为独立方程列出，已隐含在流股（,c+2,）,个独立变量数的信息之中。,对于一个由 c 个组分构成的流股：,2.2,.2,过程单元自由度,（,Degree of freedom,),U,设备参数、,操作参数,G,输入流股,m,1,输出流股,m,2,总独立变量数,m=,（,m,1,+m,2,)(,c+2,）,+m,3,+m,4,独立方程数 n,通用单元模型,之有关变量,与外界的能量交换或功,m,3,m,4,解决单元过程模拟时由哪些变量去求解另一些变量的问题。,F=m-n,2.2.2 过程单元自由度（Degree of freedo,（,1,）列出有关变量,确定,单元过程输入,/,输出流股变量中的,独立变量数,（依据,杜亥姆,(Duhem),定理,）：,(m,1,+m,2,),（,C+2,）,确定,与过程有关的设备特性参数和操作参数（例如：反应器有效容积、换热器的面积、传热系数、精馏塔的理论板数和回流比等）,;m,3,确定,过程从外界得到,(,或向外界放出,),的热量和功,m,4,总变量数,m=,(m,1,+m,2,)(C+2),+m,3,+m,4,（,2,）列出表示各物流之间有关变量约束关系的全部独立方程（,或经过推演,）,（,物料平衡、能量平衡、动量平衡，压力平衡、化学平衡、动力学、传热（质）速率、流动阻力等方程）,n,(3),2.2.,3过程系统自由度计算,F,m,n,（1）列出有关变量2.2.3过程系统自由度计算 Fmn,2.2,.,4 过程系统模型及其自由度有关的几个问题,p14-18,1,）实际系统自由度和数学模型自由度,“,自由度,”,隐含了,实际系统自由度,和,模型自由度,两个概念。,实际系统的自由度,:,客观上存在的影响系统状态的实际独立影响因素数目，不随模型而变。,数学模型的自由度,：由具体数学模型而定，与实际建模时模型本身是否合理以及建模假设、建模思路有关。,一般而言：实际系统自由度,大于或等于,数学模型自由度。,2.2.4 过程系统模型及其自由度有关的几个问题p14-18,2,）自由度分析的目的与主要内容,寻找描述实际系统状态的各个变量，分析变量之间的联系。,从整体上对各变量之间相互影响的物理规律进行研究，发现及区分独立影响因素、可人为控制因素和不可人为控制因素，即研究系统的实际自由度。,根据实际需要，进行适当简化假设，忽略次要因素，选择主要因素作为模型变量或模型参数。,用数学语言描述系统的物理规律，确定模型自由度。根据实际需要，区分模型变量中的输入变量或设计变量、输出变量或状态变量。,目的,：建模和模拟工作的重要内容之一，其重要,目的是要解决究竟由哪些变量去求解哪些变量的问题。分析不当会造成无解或多解,。,主要内容：,2）自由度分析的目的与主要内容 目的：建模和模拟工作的重要,对于流程模拟问题，通常考虑为独立影响因素的独立变量大多是,可以测量、可以控制的宏观物理量,，比如流量、压力、温度、组成等等。假如将模型中的难于观测和控制的变量（比如活度系数、熵、传递系数等等）作为独立的设计变量，则不仅违背了生产过程的因果逻辑、违背了过程的物理意义，而且在计算过程中也无法实施和操作。,3,）决策变量的选取,对于流程模拟问题，通常考虑为独立影响因素的独立变量大多是可以,2.2.,5,独立化学反应数的问题(不要求，反应工程内容）,独立化学反应数,意义：化学反应模拟时，需要根据化学方程式,计算收率、转化率、平衡组成、反应热等数据。少利用了化学,式，某些组分质量衡算将失去依据；多利用了化学反应式则,往往按速率方程或指定转化率计算消耗量或生成量时将产生矛,盾的结果。