,*,函数的,极值,及其求法,小结 思考题 作业,最大值最小值问题,第五节 函数的,极值,与,最大值最小值,第三章 微分中值定理与导数的应用,(,extreme value),1,函数的极值及其求法小结 思考题 作业最大值最小值问题第五,定义,极大值,(或极小值),函数的极大值与极小值统称为,极值,.,极值点.,极小值(minimal value),极大值(maximal value),函数的极值与最大值最大值,一、函数的极值及其求法,1.函数极值的定义,使函数取得极值的点,x,0,(自变量)称为,2,定义极大值(或极小值),函数的极大值与极小值统称为极值,函数的极值与最大值最大值,函数的极大值、极小值,是,局部性,的.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大,于某个极大值.,只是,一点附近,的,3,函数的极值与最大值最大值 函数的极大值、极小值,定理1,(必要条件),注,如,(1),驻点.,可导函数,的极值点,驻点却不一定是极值点.,但函数的,2.,极值的必要条件,函数的极值与最大值最大值,必是,驻点,费马引理,如果函数,可导,处取得极值,那么,回忆,极值,4,定理1(必要条件)注如,(1)驻点.可导函数的极值点驻点却不,极值点也可能是导数不存在的点.,如,但,怎样从,驻点,中,与,导数不存在,的点判断一点,单减的分界点,(2),不可导.,是极小值点.,是不是极值点,若,x,0,是连续函数,f,(,x,)单增、,则,x,0,必为极值点.,几何上,?,函数的极值与最大值最大值,5,极值点也可能是导数不存在的点.如,但 怎样从驻,定理2(第一充分条件),则,为,极大值,则,不是极值.,(极小值),;,极值的一阶充分条件,函数的极值与最大值最大值,3.,极值的充分条件,6,定理2(第一充分条件)则为极大值则不是极值.(极小值);极值,一般求极值的步骤,求导数;,求驻点与不可导点;,求相应区间的导数符号,判别增减性;,求极值.,(,1),(,2),(,3),(,4),不是极值点,函数的极值与最大值最大值,7,一般求极值的步骤求导数;求驻点与不可导点;求相应区间的导数,的极值,.,解:,1)求导数,2)求极值,可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,例,求函数,8,的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列,例,解,(,1),(,2),驻点:,导数不存在的点:,(,3),列表.求相应区间的导数符号,判别增减性,确定极值点和极值.,函数的极值与最大值最大值,9,例解(1)(2)驻点:导数不存在的点:(3)列表.求相应区间,非极值,极小值,不存在,极大值,驻点:,导数不存在的点:,函数的极值与最大值最大值,单调增加区间:,单调减少区间:,10,非极值极小值不存在极大值驻点:导数不存在的点:函数的极值与最,定理3(第二充分条件),证,极大值,(极小值).,极值的二阶充分条件,由极限的保号性,可见,与,异号.,所以,对于,驻点,有时还可以利用函数在该点处的,二阶导数,的正负号来判断极值点.,自己证极小值情形.,函数的极值与最大值最大值,11,定理3(第二充分条件)证极大值(极小值).极值的二阶充分条件,例,解,因为,函数的极值与最大值最大值,12,例解因为,函数的极值与最大值最大值12,注,仍用第一充分条件,函数的极值与最大值最大值,定理3(第二充分条件)不能,应用.,事实上,可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值.,如,分别属于上述三种情况.,13,注仍用第一充分条件函数的极值与最大值最大值定理3(第二充分条,例,解,所以,函数的极值与最大值最大值,第一充分条件,14,例解所以,函数的极值与最大值最大值第一充分条件14,充分条件来判定有无极值;,对于只有驻点而没有导数不存在的点,可用第二充分条件判断有无极值,.,运用第一、第二充分条件需要注意:,若函数有导数不存在的点时,则可用第一,(1),(2),则,函数的极值与最大值最大值,15,充分条件来判定有无极值;对于只有驻点而没有导数不存在的点,可,定理4,极大,值.,(小),如,则,函数的极值与最大值最大值,16,定理4极大 值.(小)如,则,函数的极值与最大值,设,是方程,的一,解,若,且,则,在,(,A,),取得极大值,(,B,),取得极小值,(,C,),在某邻域内单调增加,(,D,),在某邻域内单调减少,提示,得,A,函数的极值与最大值最大值,练习,利用方程,代入,17,设是方程的一解,若且则在(A)取得极大值(B)取得极小值,函数的极值与最大值最大值,二、最大值最小值问题,1.最值的求法,18,函数的极值与最大值最大值二、最大值最小值问题1.最值的求法1,(1),其中最大(小)者,求连续函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上的最大(小)值的方法:,函数的极值与最大值最大值,将闭区间,a,b,内所有驻点和导数不存在的,区间端点,的,就是,f,(,x,),最值必在端,(2),点处达到.,点(即为,极值嫌疑点),处的函数值和,函数值,f,(,a,),f,(,b,)比较,在闭区间,a,b,上的最大(小)值.,当,f,(,x,)在闭区间,a,b,上,单调,时,19,(1)其中最大(小)者 求连续函数 f(x),函数的极值与最大值最大值,解,驻点:,导数不存在的点:,最大值,最小值,最大值与最小值.,例,20,函数的极值与最大值最大值解驻点:导数不存在的点:最大值最小值,例,解,因,驻点:,导数不存在的点:,函数的极值与最大值最大值,21,例解因驻点:导数不存在的点:函数的极值与最大值最大值21,仅需计算:,比较得:,因,是偶函数,最大值,为,最小值,为,函数的极值与最大值最大值,驻点:,导数不存在的点:,22,仅需计算:比较得:因是偶函数,最大值为最小值为函数的极值与最,(3),(4),函数的极值与最大值最大值,若连续函数,f,(,x,)在区间,I,内只有,一个极值点,为极大(小)值,区间,I,上的最大(小)值.,对实际问题常常可事先断定最大(小)值必在,区间内部取得,如果连续函数在区间内又仅有,一个极值嫌疑点,那末这点处的函数值就是最,大(小)值.,23,(3)(4)函数的极值与最大值最大值 若连续函数 f,实际问题求最值应注意,函数的极值与最大值最大值,(1),建立目标函数;,(2),求最值;,若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数,值即为所求的最大(小)值.,24,实际问题求最值应注意函数的极值与最大值最大值(1)建立目,例,解,目标函数,得,2.,应用举例,(1),(2),求最大值点,函数的极值与最大值最大值,半径为,R.,求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的,设圆柱体的高为2,h,底半径为,r,体积为,V,25,例解 目标函数得2.应用举例(1)(2)求最大值点函数的极,圆柱体的最大体积一定存在,故,唯一驻点,就是最大值点,最大体积为,令,得,(舍去负值),唯一驻点,函数的极值与最大值最大值,26,圆柱体的最大体积一定存在,故唯一驻点 就是最大值点,最大,例,敌人乘汽车从河的北岸,A,处以1公里/分的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸,B,处向正东追击，速度为2公里/分问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？,北,南,西,东,解,建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,(1),2.,应用举例,27,例敌人乘汽车从河的北岸A处以1公里/分的速度向正北逃窜，,得,唯一驻点,函数的极值与最大值最大值,北,南,西,东,28,得唯一驻点函数的极值与最大值最大值北南西东28,(,k,为某一常数),AC,AB,要在,AB,线上选定一点,D,向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3,:,5,为使货,D,点应如何选取?,20,解:,设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点,故,AD,=15 km 时运费最省.,总运费,物从,B,运到工厂,C,的运费最省,从而为最小点,问,Km,公路,例,.,铁路上,AB,段的距离为100 km,工厂,C,距,A,处20,29,(k 为某一常数)AC AB,要在 AB 线上选定一,例,解,如图,函数的极值与最大值最大值,30,例解如图,函数的极值与最大值最大值30,解得,唯一驻点,令,因这样的面积有最大值,为所求.,为所有三角形中面积的最大值.,函数的极值与最大值最大值,31,解得唯一驻点令因这样的面积有最大值,为所求.为所有三角形中面,三、小结,函数的极值与最大值最大值,极大值可能小于极小值,函数的极值必在驻点和导数不存在的点取得.,极值的,判别法,第一充分条件;,(合适选择好用,极值:,局部性,概念,;,极小值可能大于极大值.,极值,与,最值,的区别,最值:,整体性,概念.,实际问题求最值的步骤.,第二充分条件,哪个充分条件可简化计算、注意使用条件).,32,三、小结函数的极值与最大值最大值极大值可能小于极小值,函数的,第六节,一、曲线的渐近线,二、函数图形的描绘,函数图形的描绘,第,三,章,33,第六节一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘函数图形的描绘,无渐近线.,点,M,与某一直线,L,的,距离,趋于 0,一、,曲线的渐近线,定义.,若曲线,C,上的点,M,沿着曲线无限地远离原点,时,则称直线,L,为,曲线,C,的,渐近线,.,例如,双曲线,有渐近线,但抛物线,或为,“纵坐标差”,34,无渐近线.点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,一、曲,1.,水平与铅直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例1.,求曲线,的渐近线.,解:,为水平渐近线;,为,垂直,渐近线.,35,1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐,2.,斜渐近线,斜渐近线,若,36,2.斜渐近线斜渐近线若36,例,解,注,如果,定义域,函数图形的描绘,37,例解注如果定义域函数图形的描绘37,例2.,求曲线,的渐近线.,解:,所以有铅直渐近线,及,又因,为曲线的斜渐近线.,38,例2.求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的,函数图形的描绘,练习,的渐近线，,曲线,共有,选择题:,1条.,2条.,3条.,4条.,39,函数图形的描绘练习的渐近线，曲线共有选择题:1条.2条.3条,二、函数图形的描绘,步骤:,1.确定函数,的定义域,期性;,2.求,并求出,及,3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;,4.求渐近线;,5.确定某些特殊点,描绘函数图形.,为 0 和不存在,的点;,并考察其对称性及周,40,二、函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;,例3.,描绘,的图形.,解:,1)定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(,极大,),(,拐点,）,(,极小,),4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,41,例3.描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.,例,解,偶函数,图形关于,y,轴对称.,函数图形的描绘,42,例解偶函数,图形关于y 轴对称.函数图形的描绘42,极大值,拐点,函数图形的描绘,43,极大值拐点函数图形的描绘43,练习,函数图形的描绘,44,练习函数图形的描绘44,水平渐近线;垂直渐近线;,内容小结,1.曲线渐近线的求法,斜渐近线,按作图步骤进行,2.函数图形的描绘,45,水平渐近线;垂直渐近线;内容小结1.曲线渐近线的,思考与练习,1.曲线,(,A,)没有渐近线；,(,B,)仅有水平渐近线；,(,C,)仅有铅直渐近线；,(,D,)既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,46,思考与练习 1.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水,