单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第九章,习题课,一、根本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,多元函数微分法,一、根本概念,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1.,多元函数的定义、极限、连续,定义域及对应规律,推断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2.几个根本概念的关系,思考与练习,1.争论二重极限,解法,1,解法,2,令,解法,3,令,时,以下算法是否正确?,分析,:,解法,1,解法,2,令,此法第一步排解了沿坐标轴趋于原点的状况,此法排解了沿曲线趋于原点的状况.,此时极限为,1.,其次步,未考虑分母变化的全部状况,解法,3,令,此法无视了 的任意性,极限不存在,!,由以上分析可见,三种解法都不对,由于都不能保证,自变量在定义域内以任意方式趋于原点,.,特殊要留意,在某些状况下可以利用极坐标求极限,但要留意在定义域内 r,的变化应当是任意的.,同时还可看到,此题极限实际上不存在.,提示,:,利用,故,f,在,(0,0),连续,;,知,在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不行微.,2.,证明,:,而,所以 f 在点(0,0)不行微!,二、多元函数微分法,显示构造,隐式构造,1.分析复合构造,自变量个数,=,变量总个数,方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2.,正确使用求导法则,“,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,留意正确使用求导符号,3.,利用一阶微分形式不变性,练习题,1.设函数 f 二阶连续可微,求以下函数的二阶偏导数,2.P134,题,12,解答提示,:,第 1 题,P134,题,12,设,求,提示,:,利用行列式解出,d,u,d,v,：,代入,即得,代入,即得,三、多元函数微分法的应用,1,.,在几何中的,应用,求曲线在切线及法平面,(,关键,:,抓住切向量,),求曲面的切平面及法线,(,关键,:,抓住法向量,),2.,极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法,(,消元法,拉格朗日乘数法,),求解最值问题,3.,在微分方程变形等中的应用,例,5.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离,.,解,:,设,为抛物面,上任一点，,则,P,的距离为,问题归结为,约束条件,:,目标函数,:,作拉氏函数,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,6.,在第一卦限内作椭球面,的切平面,使与三坐标面围成的四周体体积最小,并求此体积.,提示,:,设切点为,用拉格朗日乘数法可求出,则切平面为,所指四周体体积,V,最小等价于,f,(,x,y,z,)=,x y z,最大,故取拉格朗日函数,例,4,7.,设,均可微,且,在约束条件,(,x,y,),0,下的一个极值点,(x0,y0)是 f(x,y),以下选项正确的选项是(),提示,:,设,(,),代入,(,),得,D,(2023考研),其次节,作业,(4-13),