单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,线段的垂直平分线,（1）,A,B,问题导入,如图，梅尼超市在澧水河岸的一侧有相隔一段距离的A、B两个仓库，要在河岸边建造一个码头，使它到A、B两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?,澧水河,观察,：,如图，人字形屋顶的框架中，点,A,与点,A,关于线段,CD,所在的直线,l,对称,，你发现线段,CD,所在的,直线,l,与,线段,AA,有哪些关系？,l,A,A,D,2,1,(,A,),l,AA：,l,垂直,AA,AD,=,AD：,l,平分,AA,即直线,l,既,垂直,线段,AA,，又,平分,线段,AA,直线,l,就叫做,线段,AA,的,垂直平分线,_,且_一条线段的,直线,叫作这条线,段的,垂直平分线.,想一想：,线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？,l,A,B,C,（中垂线）,线段的垂直平分线,的定义：,垂直,平分,用符号语言表示：如图,_，_,直线,l,是,线段,AA,的,垂直平分线,线段是轴对称图形，,线段的垂直平分线是它的对称轴.,l,AB,AC=BC,N,M,P,探究交流：,O,A,B,（,1）在纸上画一条线段AB，再画出线段AB的垂直平分线,MN,；,（2）在线段AB的垂直平分线,MN,上,取一点P,连接PA、PB，,观察 PA、PB的长度，你有什么发现？,PA=PB,（3）在线段AB的垂直平分线MN上再取一点Q，那么AQ、BQ还有类似的结果吗？,线段,垂直平分线上的点,到线段两端点,距离相等,。,（4）那我们再猜想一下，垂直平分线上的点到两个端点的距离有什么样的关系？,N,M,P,探究交流：,O,A,B,（5）理由：,线段,垂直平分线上的点,到线段两端的,距离相等,直线MN是线段AB 的垂直平分线，,沿,直线MN折叠，点,A,与点,B,重合.,点,A,与点,B,关于直线,MN,对称,从而线段,PA,与线段,PB,重合,于是,PA=PB,.,线段垂直平分线的性质定理：,条件：点在线段的,垂直平分线上,结论：这个,点,到线段两端的,距离相等,A,B,P,O,学以致用,如图，在澧水河岸的一侧有相隔一段距离的A、B,两个仓库，要在河,岸边,建造一个码头，使,它到A、,B两个仓库的距离相等,，码头应建在什么位置?,澧水河,1.解答前面所提出的问题：,分析：,（1）所建造的码头要满足几个条件？,在河岸边,到A、B两个端点,的距离相等,（2）码头位置,应为,河岸边,与,线段AB的垂直,平分线,的交点,.,答：码头应,建在点P,的位置,2.如图，ABC中，AB=9cm,AC15cm，,BC的,垂直平分线DE,交AC于点D，交BC于点E，,求ABD的周长,A,B,E,D,C,解:,DE是BC的垂直平分线,BD=DC,ABD的周长,=AB+BD+AD,=AB+,DC,+AD,=AB+AC,=9+15=24(cm),方法小结：,应用线段的垂直平分线性质定理可帮,助我们找到线段相等关系，即线段,垂直平分线上,的点,到这条线段两个端点的,距离相等,(,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,),B,A,D,E,C,3.如图，ABC中，,ABAC,，A36，,AC的,垂直平分线交AB于E,，D为垂足，连接EC.,(1)求ECD的度数；(2)若CE5，求BC长,解,(1),DE是AC的垂直平分线,EA=EC,ECDA36,（等边对等角）,(2),AB=AC A36,BACB,（等边对等角）,2,_,180,0,-36,0,72,0,又BECA+ECA=72,BBEC,BC,=,EC,=,5,（等角对等边）,(,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,),（1）如图，在,ABC,中，,AB,的垂直平分线,分别交,AB,，,BC,于点,D,，,E,，,B,=30，,BAC,=80,，求,CAE,的度数,.,4.自主练习交流：,解,DE是AB的垂直平分线,AE=BE,BAEB30,又CAE+BAE=BAC,CAEBAC-BAE,80,-30,5,0,C,A,B,E,D,（2）如图，在ABC中，AB AC，BC边上的,垂直平分线DE交BC于点E，AC=15cm，,ABD的周长是24cm，求AB的长.,如图，在,ABC,中，,BC,=8cm，,AB,的垂直平分线交,AB,于点,D,，交边,AC,于点,E,，,BCE,的周长等于,18cm，则,AC,的长等于（）,.,A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm,中考,试题,解析,C,DE,是,AB,的垂直平分线，,AE,=,BE,(,线段垂直平分线上的,点到线段两端的距离相等,).,又,在,BCE,中，,BE,+,CE,+,BC,=18cm，,BC,=8cm，,BE,+,CE,=10cm.,AC,=,AE,+,CE,=,BE,+,CE,=10cm.故应选择C.,作业布置,课本72页A组2，3,1,.,_,且_一条线段的直线叫作这条,线段的垂直平分线.,垂直,平分,3.如图，直线,l,是,线段,AB,的垂直平分线,则PC_AB，AC=_，PA=_.,BC,知识回顾,2.线段垂直平分线上的点,_,到这条线段两个端点的距离相等,A,l,B,C,P,PB,4._点确定一条直线.,两,提出问题,C,A,B,D,如图，现在知道点C到线段,AB,两端的距离,相等，即,CA=CB,，点D到线段,AB,两端的距,离也相等，即,DA=DB,，那么根据上面条件你,能画出线段AB的垂直平分线吗？,线段的垂直平分线,(2),学习目标,1.理解掌握线段的垂直平分线的性质定理,的逆定理，并会应用这个逆定理,判断一,个点是否在线段的垂直平分线上.,2.能够运用,直尺和圆规,作出一条线段的垂,直平分线.,1.想一想：,我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端,的距离相等，反过来，它的逆命题怎么说？,(1)当点,P,在线段,AB,上时，,探究交流,2.证明：,已知一,点,P,到线段,AB,两端的,距离,PA,与,PB,相等,，那么,点,P,在,线段,AB,的垂直平分线上吗？,到线段两端距离相等的点在线段的垂直,平分线上.,l,A,B,P,显然此时点,P,在线段,AB,的垂直平分线上.,因为,PA,=,PB,，,所以点,P,为线段,AB,的中点，,（2）当点,P,在线段,AB,外时,因此直线,PC,是线段,AB,的垂直平分线，此时点,P,也在线段,AB,的垂直平分线上.,PA=PB,点,P,在线段,AB,的垂直平分线上,由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：,因为,PA,=,PB,，,所以,PAB,是等腰三角形.,A,B,P,过顶点,P,作,PC,AB,，垂足为点,C,则,AC,=,BC,.,（三线合一）,C,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.,几何语言：,条件：,点,到线段两端的,距离相等,结论：这个点在线段的,垂直平分线上,知识应用,C,A,B,D,如图，现在知道点C到线段,AB,两端的距离相等，,即,CA=CB,，点D到线段,AB,两端的距离也相等，,即,DA=DB,，那么根据上面条件你能画出线段AB的,垂直平分线吗？,1.解答前面所提出的问题：,由,CA=CB,可知点C在什么,线上？根据是什么？,分析：,点,C,在线段,AB,的垂直平分线上,由,DA=DB,可知点D在什么线上？根据是什么？,点D也在线段,AB,的垂直平分线上,由上可见直线CD是,线段,AB,的垂直平分线吗？,2.已知：如图，在,ABC,中，,AB,，,BC,的垂直平,分线相交于点,O,，连接,OA,，,OB,，,OC,.,求证：点,O,在,AC,的垂直平分线上,.,分析：,根据“到线段两端距离相等的点在线段的,垂直平分线上”可知需要证明_.,OA,=,OC,证明,点,O,在线段,AB,的垂直平分线上,OA,=,OB,同理,OB,=,OC,OA,=,OC,点,O,在,AC,的垂直平分线上,小结：判断证明一个点在线段的垂直平分线上，,需要,找出,这个点到线段两端的距离相等,举一反三，拓展思维,1.课本70页练习2,已知：如图，点,C,，,D,是线段,AB,外的两点，且,AC,=,BC,，,AD,=,BD,，,AB,与,CD,相交于点,O,.,求证：,AO,=,BO,.,证明,AC=BC,点,C,在线段,AB,的垂直平分线上,AD=BD,点D也在线段,AB,的垂直平分线上,CD,为线段,AB,的垂直平分线,又AB,与,CD,相交于点,O,AO,=,BO,C,A,B,E,D,2.如图，在ABC中，AC=15cm,AB=10cm,E是BC,的中点,，若,ABD的周长是25cm,，,求证：DE是线段BC的垂直平分线,分析：,由于E是BC的中点，根据线段垂直平分线,的定义需要证明_,DE,BC,证明,ABD的周长是25cm,AB+BD+AD=,25,cm,BD+AD=,15,cm,又CD+AD=AB=,15,cm,BD+AD=CD+AD,BD=CD,即,BDC是等腰三角形,E是BC的中点,DE,BC,（三线合一）,DE是线段BC的垂直平分线,做一做,如图，已知线段,AB,，作线段,AB,的垂直平分线,分析：,根据,“,到线段两端距离相等的点在线段的垂直,平分线上,”,，要作线段,AB,的垂直平分线，关键,是找出到线段,AB,两端距离相等的两点,.,线段的垂直平分线的作法的应用：,1.作线段的中点,.,因为线段,AB,的垂直平分线,CD,与线段,AB,的交点,就是线段,AB,的中点，所以可以用这种方法作出,线段的中点,.,2.过一点作已知直线的垂线,由于两点确定一条直线，因此我们可以通过,在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线,上的另一点，从而确定已知直线的垂线,.,练习,用尺规完成下列作图,（,只保留作图痕迹，不要求写出作法,）.,课本72页练习1,2,作业布置,课本73页4，7,