单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,在数的运算中,当数,a,0 时,有,aa,-1,=,a,-1,a,=1.,在矩阵的运算中,单位阵,E,相当于数的乘法运算中的1,那么,对于矩阵,A,如果存在一个矩阵,A,-1,使得,为,a,的倒数,或称,a,的逆(元).,其中,AA,-1,=,A,-1,A,=,E,则矩阵,A,称为可逆矩阵,称,A,-1,为,A,逆阵.,一、逆矩阵的概念和性质,2.3 逆 矩 阵,定义:,对于,n,阶方阵,A,如果存在一个,n,阶方阵,B,使得,AB,=,BA,=,E,则称矩阵,A,是可逆的,并称矩阵,B,为,A,的逆矩阵.,A,的逆矩阵记作,A,-1,.,在数的运算中,当数 a 0 时,有 aa-1=a,1,例如:设,由于,AB,=,BA,=,E,所以,B,为,A,的逆矩阵.,说明:,若,A,是可逆矩阵,则,A,的逆矩阵是,唯一的,.,事实上:若设,B,和,C,是,A,的逆矩阵,则有,所以,A,的逆矩阵是唯一的,即,AB,=,BA,=,E,AC,=,CA,=,E,可得:,B,=,EB,=(,CA,),B,=,C,(,AB,)=,CE,=,C,.,B,=,C,=,A,-1,.,解:,利用待定系数法.,例1:,设,求,A,的逆矩阵.,是,A,的逆矩阵,设,例如:设由于 AB=BA=E,所以,B为A的逆,2,即,又因为,则,解得,所以,即,A,B,=,B,A,=,E,如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的,必须寻求可行而有效的方法.,则,即又因为则解得,所以即AB=BA=E,3,证明:,若,A,可逆,则有,A,-1,使得,AA,-1,=,E,.,定理1:,矩阵,A,可逆的充要条件是|,A,|,0,且,其中,A,*为矩阵,A,的伴随矩阵.,故,|,A,|,A,-1,|,=,|,E,|,=,1,所以,|,A,|,0.,由伴随矩阵的性质:,AA,*=,A,*,A,=,|,A,|,E,知,当|,A,|,0时,按逆矩阵的定义得,当|,A,|,=,0,时,称,A,为,奇异矩阵,否则称,A,为,非奇异矩阵,.,证明:若A可逆,则有A-1,使得AA-1=E.定理,4,由此可得,A,是可逆矩阵的充分必要条件是,A,为非奇异矩阵,.,证明:,由,AB,=,E,得,|,A,|,|,B,|,=,|,E,|,=,1,推论:,若,AB,=,E,(或,BA,=,E,),则,B,=,A,-1,.,故,|,A,|,0,.,因而,A,-1,存在,于是,B,=,EB,=(,A,-1,A,),B,=,A,-1,(,AB,)=,A,-1,E,=,A,-1,.,故结论成立.,逆矩阵的运算性质,(1)若矩阵,A,可逆,则,A,-1,亦可逆,且(,A,-1,),-1,=,A,.,当|,A,|,0,时,定义,A,0,=,E,A,-,k,=(,A,-1,),k,(,k,为正整数).,且此时对任意整数,有,A,A,=,A,+,(,A,),=,A,.,由此可得,A是可逆矩阵的充分必要条件是A为,5,(2)若矩阵,A,可逆,且,0,则,A,亦可逆,且,证明:,(4)若矩阵,A,可逆,则,A,T,亦可逆,且(,A,T,),-1,=(,A,-1,),T,.,A,T,(,A,-1,),T,=(,A,-1,A,),T,=,E,T,=,E,所以,(,A,T,),-1,=(,A,-1,),T,.,(3)若,A,B,为同阶可逆方阵,则,AB,亦可逆,且,(,AB,),-1,=,B,-1,A,-1,.,证明:,(,AB,)(,B,-1,A,-1,)=,A,(,BB,-1,),A,-1,=,AEA,-1,=,AA,-1,=,E,所以,(,AB,),-1,=,B,-1,A,-1,.,(5)若矩阵,A,可逆,则有|,A,-1,|=|,A,|,-1,.,证明:,因为,AA,-1,=,E,所以,|,A,|,|,A,-1,|,=,|,E,|,=,1,因此,|,A,-1,|=|,A,|,-1,.,(2)若矩阵A可逆,且 0,则 A 亦可逆,6,的逆矩阵.,例2:,求方阵,解:,因为,二、关于逆矩阵的计算,所以,A,-1,存在.,同理可得,所以,故,的逆矩阵.例2:求方阵解:因为二、关于逆矩阵的计算所以A,7,解:,例3,:下列矩阵,A,B,是否可逆?若可逆,求其逆矩阵.,所以,A,可逆.,由于,同理可得,所以,解:例3:下列矩阵A,B是否可逆?若可逆,求其逆矩阵.,8,由于,故,B,不可逆.,例4:,求,的逆矩阵(,ad,bc,0,).,解:,用伴随矩阵的方法求,A,逆阵.,|,A,|,=,ad,bc,0.,A,11,=,d,A,21,=,b,A,12,=,c,A,22,=,a,.,设,则,A,可逆且,则,求,二阶矩阵,A,的逆,可用“,两调一除,”的方法,其做法如下:,由于故B不可逆.例4:求的逆矩阵(ad bc 0,9,例5:,设,求矩阵,X,使其满足,AXB,=,C,.,解:,由于,所以,A,-1,B,-1,都存在.且,先将矩阵,A,中的主对角元素调换其位置,再将次对角元素调换其符号,最后用,A,的行列式|,A,|除矩阵,A,的每一个元素,即可得,A,的逆矩阵,A,-1,.,例5:设求矩阵X使其满足 AXB=C.解:由于所以,A,10,又由,AXB,=,C,得,A,-1,AXBB,-1,=,A,-1,CB,-1,则,X,=,A,-1,CB,-1,.,于是,X,=,A,-1,CB,-1,例6:,解矩阵方程,解:,给方程两端左乘矩阵,得,又由 AXB=C,得 A-1AXBB-1=A-1C,11,例7:,设方阵,A,满足矩阵方程,A,2,A,2,E,=,O,证明:,A,A,+2,E,都可逆,并求它们的逆矩阵.,证明:,由,A,2,A,2,E,=,O,得,A,(,A,E,)=2,E,则,故,A,可逆,且,A,-1,=,所以,又由,A,2,A,2,E,=,O,得(,A,+2,E,)(,A,3,E,)+4,E,=,O,则,故(,A,+2,E,)可逆,且,(,A,+2,E,),-1,=,例7:设方阵A满足矩阵方程 A2A2E,12,例8:,设三阶方阵,A,B,满足关系式:,A,-1,BA,=6,A,+,BA,且,求,B,.,解:,由于|,A,|=1/56,0,由,A,-1,BA,=6,A,+,BA,得,A,-1,BA,BA,=6,A,所以,A,可逆,且,A,-1,=,则(,A,-1,E,),BA,=6,A,由于(,A,-1,E,)=,所以(,A,-1,E,)可逆,且,(,A,-1,E,),-1,=,由,A,和(,A,-1,E,)可逆可得:,B,=6(,A,-1,E,),-1,例8:设三阶方阵A,B满足关系式:A-1BA=6A+B,13,对角型非奇异方阵的逆矩阵有如下结果:,若,则,其中,1,2,n,0.,对角型非奇异方阵的逆矩阵有如下结果:若则其中,12,14,例9:,设,且,AP,=,PA,求,A,n,.,解:,由于|,P,|,=2,则,A,n,=,P,n,P,-1,A,=,P,P,-1,A,2,=,P,P,-1,P,P,-1,=,P,P,-1,=,P,2,P,-1,A,m,=,P,m,P,-1,而,例9:设且AP=PA,求An.解:由于|P|,15,设,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,+,a,m,x,m,为一,m,次多项式,A,为阶方阵,记,(,A,)=,a,0,E,+,a,1,A,+,+,a,m,A,m,则,(,A,)称为,方阵,A,的,m,次多项式,.,由于,A,k,A,l,和,E,之间都是可交换的,所以方阵,A,的两个多项式,(,A,)和,(,A,)做矩阵乘法是可交换的,即总有,(,A,),(,A,)=,(,A,),(,A,),从而方阵,A,的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式,.,例如,(,E,+,A,)(2,E,A,),=,2,E,+,A,A,2,(2,E,A,),3,=,E,3,A,+3,A,2,A,3,.,设 (x),16,定义:,设,A,B,都是,n,阶矩阵,若有可逆矩阵,P,使,P,-1,AP,=,B,则称,B,是,A,的相似矩阵,或说,矩阵,A,与,B,相似,.对,A,进行运算,P,-1,AP,称为,对,A,进行相似变换,可逆矩阵,P,称为把,A,变成,B,的,相似变换矩阵,.,由于矩阵,A,与,B,相似,则存在可逆矩阵,P,使,P,-1,AP,=,B,亦即,A,=,PBP,-1,所以,相似矩阵有,A,m,=,(,PBP,-1,),m,=,PBP,-1,PBP,-1,PBP,-1,=,PB,m,P,-1,.,进一步有,若,(,A,)=,a,0,E,+,a,1,A,+,+,a,m,A,m,则,(,A,),=,a,0,PP,-1,+,a,1,PBP,-1,+,+,a,m,PB,m,P,-1,=,P,(,a,0,E,+,a,1,B,+,+,a,m,B,m,),P,-1,=,P,(,B,),P,-1,.,即,相似矩阵的多项式,有相同相似变换矩阵,.,定义:设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩,17,A,m,=,P,m,P,-1,;,(,A,)=,P,(,),P,-1,.,特别当矩阵,A,与对角阵,=diag(,1,2,n,)相似时,则,m,=diag(,1,m,2,m,n,m,),又显然有,则,(,)=,a,0,E,+,a,1,+,+,a,m,m,Am=PmP-1;(A)=P()P-1.特,18,四、小结,逆矩阵的概念及运算性质;,逆矩阵,A,-1,存在当且仅当|,A,|,0.,逆矩阵的计算方法:,(1)待定系数法;,(3)初等变换法(下一章介绍).,(2)伴随矩阵法:,四、小结逆矩阵的概念及运算性质;逆矩阵的计算方法:(3)初等,19,思考题,思考题解答,若,A,可逆,那么矩阵方程,AX,=,B,(或,YA,=,B,)是否有唯一解:,X,=,A,-1,B,(或,X,=,BA,-1,)?,若当,A,为奇异方阵时,上述方程可能有解但不唯一,也可能无解.,是的!这是由,A,-1,的唯一性决定的.,思考题思考题解答 若A可逆,那么矩阵方程 A,20,感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，,如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！,感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，,21,