单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,方程的根与函数的零点,四川省广汉中学 田 波,方程的根与函数的零点四川省广汉中学 田 波,1,生活实例探究,小马过河,马,2,马,1,马,1,马,2,提出问题 引入新课,生活实例探究小马过河 马2马1马1马2提出问题,2,将河流抽象成,x,轴，将两个位置视为,A,、,B,两点。请问当,A,、,B,与,x,轴怎样的位置关系时，,AB,间的一段连续不断的函数图象与,x,轴一定会有交点？,a,b,x,a,b,x,a,b,x,a,b,x,a,b,x,a,b,x,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,B,A,A,B,A,B,A,B,A,提出问题 引入新课,将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x,3,方程,x,2,2x+1=0,x,2,2x+3=0,y=x,2,2x,3,函数,函数的图象,方程的实数根,x,1,=,1,x,2,=3,x,1,=x,2,=1,无实数根,(,1,0),、,(,3,0),(,1,0),无交点,x,2,2x,3=0,x,y,0,1,3,2,1,1,2,1,2,3,4,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,x,y,0,1,3,2,1,1,2,5,4,3,y=x,2,2x+1,.,.,.,.,.,y,x,0,1,2,1,1,2,y=x,2,2x+3,思考,:,以下一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像有什么关系？,知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系,函数图像与,x,轴的交点,方程x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x,4,问题：,若将上面特殊的一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),推广到一般的一元二次方程及相应二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0),的图象与,x,轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（我们以,a0,为例）,判别式,=,b,2,4ac,0,=0,0,函数,y=ax,2,+bx,+c(a0),的图象,x,y,x,1,x,2,0,x,y,0,x,1,x,y,0,没有交点,方程,ax,2,+bx+c=0,(a0),的根,两个不相等,的实数根,x,1,、,x,2,有两个相等的,实数根,x,1,=x,2,没有实数根,结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与,x,轴交点的横坐标,知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系,函数的图象,与,x,轴的交点,(,x,1,0),(,x,2,0),(,x,1,0),问题：若将上面特殊的一元二次方程ax2+bx+c=0(,5,问题,:,其他函数与方程之间也有同样结论吗？,方程,f(x)=0,的实数根,函数,y=f(x),图象与,x,轴交点的,0,x,y,x,1,x,2,x,3,x,4,Y=f(x),横坐标,知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系,问题:其他函数与方程之间也有同样结论吗？方程f(x)=0的实,6,一,.,函数零点的定义：,例,1,：,函数,f(x)=x(x,2,4),的零点为（）,A,(0,，,0),，,(2,，,0)B,0,，,2 C,(2,，,0),，,(0,，,0),，,(2,，,0)D,2,，,0,，,2,函数的零点是实数，而不是点。,温馨,提示,1,求函数的零点就是求函数所对应方程的根。,对于函数,y,f,(,x,),，把使,f,(,x,),0,的实数,x,叫做函数,y,f,(,x,),的零点,D,温馨,提示,2,知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系,例1：函数f(x)=x(x24)的零点为（）函数,7,方程,f(x)=0,的实数根,函数,y=f(x),的图象与,x,轴交点的横坐标,函数值等于,零,时的,x,的值,函数,y=f(x),的,零点,归纳关系：,数,形,对零点的理解：,数,的角度：,形,的角度：,即是使,f,(,x,)=0,的实数,x,的值,即是函数,f,(,x,),的图象与,x,轴的交点的横坐标,知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系,方程f(x)=0函数y=f(x)的图象与函数值等于零时的x的,8,我的零点是,-1,和,3,我的零点是,10,不好意思，我没有零点，你答对了吗？,问题,:,在怎样的条件下，函数,y,f(x),在区间,a,b,上存在零点？,知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系,巩固练习一：,我的零点是-1和3我的零点是10不好意思，我没有零点，你答对,9,生活实例探究,小马过河,知识探究（二）：函数零点存在性定理,马,2,马,1,马,1,马,2,生活实例探究小马过河 知识探究（二）：函数零点,10,将河流抽象成,x,轴，将两个位置视为,A,、,B,两点。请问当,A,、,B,与,x,轴怎样的位置关系时，,AB,间的一段连续不断的函数图象与,x,轴一定会有交点？,a,b,x,a,b,x,如果函数,在区间,上,的图象是连续不断的一条曲线，,怎样才能保证在,a,b,上有零点？,a,b,x,a,b,x,a,b,x,a,b,x,知识探究（二）：函数零点存在性定理,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,B,A,a,b,x,A,B,a,b,x,A,B,a,b,x,A,B,a,b,x,A,将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x,11,观察二次函数,f,(,x,),x,2,2,x,3的图象：,在区间-2，1上有零点_；,f,(-2)=_，,f,(1)=_，,f,(-2),f,(1)_0（,“,”,或,“,”,）,在区间,2，4,上有零点_；,f,(2),f,(4)_0（,“,”,或,“,”,）,1,4,5,3,-2,2,-2,-4,1,O,1,2,3,4,-3,-1,-1,y,x,知识探究（二）：函数零点存在性定理,观察二次函数f(x)x22x3的图象：1453,12,观察函数的图象并填空:,在区间(,a,b,)上,f,(,a,),f,(,b,)_0(“”或“”),在区间(,a,b,)上_(有/无)零点；,在区间(,b,c,)上,f,(,b,),f,(,c,)_ 0(“”或“”),在区间(,b,c,)上_(有/无)零点；,在区间(,a,d,)上,f,(,a,),f(d,)_ 0(“”或”),在区间(,a,d,)上_(有/无)零点；,有,有,有,x,y,O,a,b,c,d,问题：,是不是函数,y,f,(,x,),在区间,a,b,上只要满足,f,(,a,),f,(,b,),0,，函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,b,),上一定有零点？,知识探究（二）：函数零点存在性定理,x,y,o,观察函数的图象并填空:有有有xyOabcd问题：是不是,13,例,x,y,o,y,x,o,x,y,o,x,y,o,零点的存在性定理,知识探究（二）：函数零点存在性定理,例xyoyxoxyoxyo零点的存在性定理知识探究（二）：函,14,那么,如果函数,的一条曲线，并且,f(a)f(b)0,，,（,a,b,）内有零点，即存在,连续不断,c,也就是方程,（,1,）两个前提条件缺一不可,（,2,）“有零点”是指有几个零点呢,?,知识探究（二）：函数零点存在性定理,（,3,）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？,那么,如果函数,的一条曲线，并且,f(a)f(b)0,，,并且是单调函数，,（,a,b,）内有且只有一个零点。,连续不断,x,y,0,那么如果函数的一条曲线，并且 f(a)f(b)0，（a,15,x,y,0,(4),若函数,y,=,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内有零点，一定能得出,f,(,a,),f,(,b,)0,的结论吗？,函数零点存在性定理的逆命题不成立！,(5),定理的作用：,知识探究（二）：函数零点存在性定理,判定零点的存在，并找出零点所在的区间。,xy0(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内,16,（,1,）已知函数,y=f,(,x,),在区间,a,b,上连续，且,f,(,a,),f,(,b,)0,，则,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内有且仅有一个零点,.,（）,（,2,）已知函数,y=f(x),在区间,a,b,上连续且在区间,(,a,b,),内存在零点,.,，则,f(x),必满足,f(a)f(b),0.,（）,例,2,判断正误,知识探究（二）：函数零点存在性定理,（1）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(,17,1,、,在下列哪个区间内,函数,f(x)=x,3,3,x,5,一定有零点（）,A,、,(,1,0,）,B,、,(0,1,）,C,、,(1,2,）,D,、,(2,3,）,C,2,、,已知函数,f(x),的图象是连续不断的,且有如下的,x,f(x),对应值表：,26,12,5,11,7,9,23,f(x),7,6,5,4,3,2,1,x,那么该函数在区间,1,，,6,上有（）零点,.,A,、只有,3,个,B,、至少有,3,个,C,、至多有,3,个,D,、无法确定,B,知识探究（二）：函数零点存在性定理,巩固练习二：,1、在下列哪个区间内,函数f(x)=x33x5一定有,18,由上表和右图可知,f(2)0,，,即,f(2)f(3)0,，,说明这个函数在区间,(2,3),内,有零点。,由于函数,f(x),在定义域,(0,+),内是增函数，所以,它仅有一个零点。,解法,1,：用计算器或计算机作出,x,、,f(x),的对应值表和图象,4,1.3069,1.0986,3.3863,5.6094,7.7918,9.9459,12.0794,14.1972,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,f,（,x,）,.,.,.,.,.,.,.,.,.,x,0,2,4,6,10,5,y,2,4,10,8,6,12,14,8,7,6,4,3,2,1,9,的零点个数,例,3,求函数,6,2,ln,),(,-,+,=,x,x,x,f,知识探究（二）：函数零点存在性定理,由上表和右图可知f(2)0，即f(2)f(,19,一题多解,0,1,2,3,4,5,-1,-2,1,2,3,4,5,-1,-2,x,y,6,的零点个数,例,3,求函数,6,2,ln,),(,-,+,=,x,x,x,f,知识探究（二）：函数零点存在性定理,方法,2,：,将函数 的零点个数转化为函数 与 的图像交点的个数,方法,2,：,将函数 的零点个数转化为函数 与 的图像交点的个数,一题多解012345-1-212345-1-2xy6的零点个,20,知识探究（二）：函数零点存在性定理,巩固练习三：,1,、已知方程 的根所在的大致区间是（）,B,2,、已知关于,x,的方程,3ax+1-2a=0,在（,-1,1,）有,唯一解，求,a,的取值范围,.,知识探究（二）：函数零点存在性定理 巩固练习三：1、已知方程,21,课堂小结,通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要的数学思想？,函数方程思想、数形结合思想,、等价转化思想,知识小结：方程的根和函数的零点,数学思想,数学知识,2.,三个等价关系,1.,函数的零点的定义及其求法,3.,函数的零点存在性定理、作用,课堂小结通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重,22,数,的角度：,形,的角度：,即是使,f,(,x,)=0,的实数,x,的值,即是函数,f,(,x,),的图象与,x,轴的交点的横坐标,知识小结：函数的零点及其求法,代数法,几何法,对于函数,y,f,(,x,),，把使,f,(,x,),0,的实数,x,叫做函数,y,f,(,x,),的零点,零点的定义,零点的求法,数的角度：形的角度：即是使f(x)=0的实数x的值即,23,方程,f(x)=0,的实数根,函数,y=f(x),的图象与,x,轴交点的横坐标,函数,y=f(x),的,零点,数,形,知识小结：三个等价关系,方程f(x)=0函数y=f(x)的图象与函数y=f(x)的零,24,知识小结：函数的零点存在性定理及作用,定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。,知识小结：函数的零点存在性定理及作用定理的作用：判定零点的存,25,课