*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,正方形的性质与判定,四边形,两组对边分别平行,平行四边形,矩 形,菱 形,一角为,90,一组邻边相等,想一想,你觉得什么样的四边形是正方形呢,?,矩 形,正方形,矩形怎样变化后就成了正方形呢,?,探究（一）,2,、要使一个矩形成为正方形需添加的条件是,（填上一个条件即可）,有一组邻边相等,探 究（二）,菱形怎样变化后就成了正方形呢,?,正方形,1,、要使一个菱形成为正方形需,增加的条件是,（填上一个条件即可）,有一个角是直角,探究小结,矩 形,正方形,邻边,相等,发现：,一组邻边相等的矩形 叫正方形,菱 形,一个角,是直角,正方形,发现：,一个角为直角的菱形叫正方形,正方形定义,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形,拓展讨论,讨论总结,:,正方形有那些性质,?,知识点一：,正方形的性质,观察思考：正方形是中心对称图形吗,?,A,C,D,B,A,C,D,B,A,C,D,B,O,对边平行，四条,边都相等,四 个 角,都是直角,对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角,四边形,ABCD,是正方形,ABCD ADBC,AB=BC=CD=AD,四边形,ABCD,是正方形,A=B=C=D,=90,四边形,ABCD,是正方形,ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,轴对称图形 中心对称图形,二、正方形的性质的应用,例,1,、如图，正方形,ABCD,中，,（,1,）一条对角线把它分成,个全等的三,角形。,问：这些三角形是什么三角形？,（,2,）两条对角线把它分成,个全等的,三角形。,2,4,等腰直角,A,B,D,C,O,（,3,）对角线,AC,与正方形的一边所成的角为,度。,45,例,2,、如图，正方形,ABCD,中，,A,B,D,C,O,正方形的面积为,64,平方厘米，则正方形对角线,AC=,。,82 cm,试一试，相信你很棒！,1.,正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）,A.,对角线互相垂直,B.,对角线互相平分,C.,对角线相等,D.,对角线平分一组对角,C,2.,已知正方形的一条边长为,2cm,则这个正方形的,周长为,对角线长为,面积为,.,8cm,3.,正方形的对角线和它的边所成的角是,度,.,45,4.,已知正方形的一条对角线长为,4cm,则它的边长,为,，面积为,。,5.,已知正方形,ABCD,中,对角线,AC=10cm,P,为,AB,上任意一,点,PEAC,PFBD,E,、,F,为垂足,则,PE+PF=,。,5cm,A,B,C,D,F,P,E,O,例,求证,:,正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形,.,A,D,C,B,O,已知,:,如图,四边形,ABCD,是正方形,对 角线,AC,、,BD,相交于点,O.,求证,:ABO,、,BCO,、,CDO,、,DAO,是全等的等腰直角三角形,.,证明,:,四边形,ABCD,是正方形,ACBD,即,AOB=BOC=COD=DOA=90,AO=BO=CO=DO.,ABO,、,BCO,、,CDO,、,DAO,都是等腰直角三角形,并且,ABO,BCO,CDO,DAO(SAS),A,D,C,B,O,正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？,拓展讨论,:,结论：,分成八个等腰直角三角形，分别是,ABC,、,ADC,、,ABD,、,BCD,；,AOB,、,BOC,、,COD,、,DOA.,平行四边形,矩形,菱形,正,方,形,正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？,对边平行且相等,每条对角线平分一组对角,对角线相等,对角线互相垂直,对角线互相平分,四个角都是直角,对角相等,四条边都相等,性质,正方形,菱形,矩形,平行四边形,图形,小结,知识拓展,:,与同学讨论后填写下表：,边,角,对 角 线,对 称 性,平 行,四边形,矩 形,菱 形,正方形,几种特殊四边形的性质,对边平行,且相等,对边平行 且相等,对边平行，四边都相等,对边平行，,四条边,都相等,对角相等，,邻角互补,四个角,都是直角,对角相等，,邻角互补,四个角,都是直角,对角线互相平分,对角线相等,且互相平分,对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角,对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角,中心对称图形,轴对称图形、,中心对称图形,轴对称图形、,中心对称图形,轴对称图形、,中心对称图形,知识点二：,正方形的判定,正方形,矩形,有一组邻边相等,菱形,有一个角是直角,有一组邻边相等,有一个角是直角,平行四边形,有一个角是直角,有一组邻边相等,图形之间的变化关系,判断四边形是正方形有哪些方法？,、先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等,、先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角,、先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，并且一个角是直角。,（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）,（邻边相等的矩形是正方形）,（有一个角是直角的菱形是正方形）,巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正方形的补充什么条件能让它成为正方形？,四个角都相等的四边形是正方形；(),四条边都相等的四边形是正方形；(),对角线相等的菱形是正方形；(),对角线互相垂直的矩形是正方形；(),对角线垂直且相等的四边形是正方形;(),四边相等，有一个角是直角的四边形,是正方形.(),已知:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?,例题教学,1,2,3,2.,已知,:,如图,ABC,中,.ABC=90,BD,是角平分线,DEAB,DFBC,垂足分别是,E,、,F.,F,A,B,C,D,E,试说明：四边形,DEBF,是正方形,.,解,:DFBC,DEAB,DEB=DFB=90,又,ABC=90,四边形,DEBF,是矩形,BD,平分,ABC,DFBC,DEAB,DE=DF,四边形,DEBF,是正方形,如图，在矩形中，四个角的平分线相交于点、，试说明四边形EFGH是正方形。,小结,1,、正方形定义,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形,2,、正方形有那些性质,对边平行，四条边都相等,四个角都是直角,对角线互相垂直平分且相等，,每条对角线平分一组对角,.,边：,角：,对角线：,3,、正方形有那些判定方法,正方形的判定方法：,2、有一组邻边相等的矩形是正方形,3、有一个角是直角的菱形是正方形,1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形,（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）,正方形常考点练习巩固与提升,例：正方形,ABCD,中,DAF=25,AF,交对角线,BD,于,E,交,CD,于,F,求,BEC,的度数,.,A,B,C,D,E,F,若,FEC=30,则,DAF=,25,30,例,3,已知：如图,(4),在正方形,ABCD,中，,F,为,CD,延长线,上一点，,CEAF,于,E,，交,AD,于,M,，,求证：,MFD,45,分析：,欲证,MFD,45,，由于,MDF,是直角三角形,只须证,MDF,是等腰三角形,即只要证,_=_,要证,MD,FD,，大家只须证得哪两个三角形全等,?,CMDADF,练习,如图,(5),，在,AB,上取一点,C,，以,AC,、,BC,为正方形的一边在同一侧作正方形,AEDC,和,BCFG,连结,AF,、,BD,延长,BD,交,AF,于,H,。求证：,(1)ACFDCB,(2)BHAF,证明：,如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，那么线段AE和DG有什么大小关系？请说明理由。,A,E,F,G,D,C,B,1,2,3,例题赏析,在正方形,ABCD,中,AC,是对角线,AE,平分,BAC,试猜想,AB,、,BE,、,AC,之间的大小关系，并证明你的猜想,G,F,E,D,A,B,C,例,2,如图,(3),，正方形,ABCD,中，,AC,、,BD,相交于,O,，,分析：,要证明,BM,CN,，,MNAB,且,MN,分别交,OA,、,OB,于,M,、,N,，,求证：,BM,CN,。,AB=BC,，,1=2=45,AM=BN,ABMBCN,正方形,ABCD,OM=ON,OMN,ONM,45,活动与探索,A,B,C,D,E,F,如图正方形,ABCD,的边长为,1,，,E,、,F,分别为,BC,、,CD,上的点，若,BE+DF=EF,，,求证：,EAF=45,0,G,变式：如图，正方形,ABCD,的边长为,4,，点,E,、,F,分别在,BC,、,CD,上，,EAF=45,0,，,CEF,的面积为 ，求,AEF,的面积。,