单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,郑平正,制作,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,郑平正,制作,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2024/11/19,郑平正,制作,3.1,回归分析的基本思想及其初步应用（一）,必修,3(,第二章 统计,),知识结构,收集数据,(,随机抽样,),整理、分析数据估计、推断,简单随机抽样,分层抽样,系统抽样,用样本估计总体,变量间的相关关系,用样本的频率分布估计总体分布,用样本数字特征估计总体数字特征,线性回归分析,比,数学,3,中“回归”增加的内容,数学,统计,画散点图,了解最小二乘法的思想,求回归直线方程,y,bx,a,用回归直线方程解决应用问题,选修,2-3,统计案例,引入线性回归模型,y,bx,a,e,了解模型中随机误差项,e,产生的原因,了解相关指数,R,2,和模型拟合的效果之间的关系,了解残差图的作用,利用线性回归模型解决一类非线性回归问题,正确理解分析方法与结果,回归分析的基本思想及其初步应用,知识回顾：,对具有线性相关关系的两个变量进行回归分析的步骤是什么？,(1),画出两个变量的散点图（,相关关系,）,(2),求回归直线方程（公式法、）,(3),利用回归直线方程进行预报,回归直线过样本点的中心,相关系数的计算公式：,相关系数,r,的,作用：,1,、判断正、负相关,当,r0,时，两个变量,正相关,当,r0,时，两个变量,负相关,2,、判断线性相关的强弱,当,0.75|r|1,时，两个变量相关性,很强,当,0.3|r|0.75,时，两个变量相关性,一般,当,0|r|0.25,时，两个变量相关性,较弱,正相关,负相关,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生，其身高和体重,数据如表,1-1,所示。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，,并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,案例,1,：女大学生的身高与体重,（,1,）画散点图,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生，其身高和体重,数据如表,1-1,所示。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，,并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,案例,1,：女大学生的身高与体重,（,2,）建立回归方程,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生，其身高和体重,数据如表,1-1,所示。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，,并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,案例,1,：女大学生的身高与体重,（,3,）相关系数的计算与解释,探究：,身高为,172cm,的女大学生的体重一定是,60.316kg,吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,我们可以用下面的,线性回归模型,来表示：,y=,bx+a+e,，,(3),其中,a,和,b,为模型的未知参数，,e,称为随机误差,。,y=,bx+a+e,，,E(e,)=0,D(e)=,(4),在线性回归模型,(4),中，随机误差,e,的方差 越小，通过回归直线,(5),预报真实值,y,的精度越高。随机误差是引起预报值 与真实值,y,之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。,另一方面，由于公式,(1),和,(2),中 和 为截距和斜率的估计值，它们与真实值,a,和,b,之间也存在误差，这种误差是引起预报值与真实值,y,之间误差的另一个原因。,思考,:,产生随机误差项,e,的原因是什么？,随机误差,e,的来源,(,可以推广到一般）：,1,、忽略了其它因素的影响：影响身高,y,的因素不只是体重,x,，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；,2,、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；,3,、身高,y,的观测误差。,以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,可以提供,选择模型的准则,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,线性回归模型,y=,bx+a+e,增加了随机误差项,e,，因变量,y,的值由自变量,x,和,随机误差项,e,共同确定，即,自变量,x,只能解析部分,y,的变化,。,在统计中，我们也把自变量,x,称为解析变量,，因变量,y,称为,预报变量。,所以，对于身高为,172cm,的女大学生，由回归方程可以预报其体重为,思考：,如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上,与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？,假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相,同。,在体重不受任何变量影响的假设下，设,8,名女大学生的体重都是她们的平均值，,即,8,个人的体重都为,54.5kg,。,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,54.5kg,在散点图中，所有的点应该落在同一条,水平直线上，但是观测到的数据并非如,此。,这就意味着,预报变量（体重）的值,受解析变量（身高）或随机误差的影响,。,怎样研究随机误差,59,43,61,64,54,50,57,48,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,例如，编号为,6,的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为,61kg,。解析,变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从,54.5kg“,推”到了,61kg,，相差,6.5kg,，,所以,6.5kg,是解析变量和随机误差的,组合效应,。,编号为,3,的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为,50kg,。解析,变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从,50kg“,推”到了,54.5kg,，相差,-4.5kg,，,这时解析变量和随机误差的组合效应为,-4.5kg,。,用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。,数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用,表示总的效应，称为,总偏差平方和,。,在例,1,中，总偏差平方和为,354,。,59,43,61,64,54,50,57,48,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解析变量（身高）？,有多少来自于随机误差？,假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图,中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归,直线上。,这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上,“推”开了,。,在例,1,中，残差平方和约为,128.361,。,因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，,称 为,残差,。,例如，编号为,6,的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：,对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号,称为,残差平方和,，,它代表了随机误差的效应。,表示为：,即，,类比样本方差估计总体方差的思想，可以用,作为 的估计量，越小，预报精度越高。,离差平方和的分解,（三个平方和的意义）,1.,总偏差平方和,(,SST,),2.,残差平方和,(,SSE,),3.,回归平方和,(,SSR,),解析变量和随机误差的总效应（,总偏差平方和,）,=,解析变量的效应（,回归平方和,）,+,随机误差的效应（,残差平方和,）,我们可以用,相关指数,R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,样本决定系数,（相关指数,R,2,）,1.,回归平方和,占,总偏差平方和,的比例,反映回归直线的拟合程度,取值范围在,0,1,之间,R,2,1,，说明回归方程拟合的越好；,R,2,0,，说明回归方程拟合的越差,相关指数,等于,相关系数,的平方，即,R,2,(,r,),2,显然，,R,2,的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。,在线性回归模型中，,R,2,表示,解析变量,对,预报变量,变化的贡献率。,R,2,越接近,1,，表示回归的效果越好（因为,R,2,越接近,1,，,表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）,。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，,则可以通过比较,R,2,的值来做出选择，即选取,R,2,较大的模型,作为这组数据的模型。,总的来说：,相关指数,R,2,是度量模型拟合效果的一种指标。,在线性模型中，它,代表自变量刻画预报变量的能力。,我们可以用,相关指数,R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,1,354,总偏差平方和,0.36,128.361,残差变量,0.64,225.639,解释变量,比例,平方和,来源,表,1-3,从表,3-1,中可以看出，,解析变量,对,总效应,约,贡献了,64%,，,即,R,2,=0.64,，可以叙述为“身高解析了,64%,的体重变化”，,而随机误差贡献了剩余的,36%,。,所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。,我们可以用,相关指数,R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,表,3-2,列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，,是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始,数据中是否存在可疑数据，,这方面的分析工作称为残差分析,。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,残差,-6.373,2.627,2.419,-4.618,1.137,6.627,-2.883,0.382,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本,编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为,残差图,。,2024/11/19,郑平正,制作,残差图的制作及作用。,坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；,若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域,；,对于远离横轴的点，要特别注意,。,身高与体重残差图,异常点,错误数据,模型问题,几点说明：,第一个样本点和第,6,个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。,另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,学以致用：,1,、在对两个变量，进行线性回归分析时有下列