单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,1.,向量加法的,三角形法则,作法,:,在平面中任取,一点,O,o,回顾旧知,:,过,O,作,OA=,a,过,A,作,AB=,b,则,OB=,a,+,b,.,a+b,b,a,A,如图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a,+,b,.,b,B,a,首尾相接首尾连,第1页/共38页,1.向量加法的三角形法则作法:在平面中任取o回顾旧知:过O作,1,2.,向量加法的平行四边形法则,作法,:,在平面中任取一点,O,o,以,OA,OB,为边作,平行四边形,C,如图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a+b,.,b,a,a,A,b,B,过,O,作,OA=,a,过,O,作,OB=,b,a+b,则对角线,OC=,a+b,共起点,第2页/共38页,2.向量加法的平行四边形法则作法:在平面中任取一点O,o以O,2,3.,向量的减法,(,三角形法则）,如图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a-b,.,a,b,作法,:,在平面中任取一点,o,过,O,作,OA=,a,过,O,作,OB=,b,o,a,A,b,B,则,BA=,a-b,a-b,共起点,第3页/共38页,3.向量的减法(三角形法则）如图,已知向量a和向量b,作向量,3,实际背景,第4页/共38页,实际背景第4页/共38页,4,探索,1:,a,C,a,A,B,a,O,-a,Q,-a,M,N,-a,P,已知非零向量,a,（如图）,a,试作出：,a,+,a,+,a,和,(-,a,)+(-,a,)+(-,a,),根据向量加法的法则可得,思考,:,相同向量相加以后，,和的长度与方向有什么变化？,第5页/共38页,探索1:aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量 a,5,O,A,B,C,由图可知，向量,OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把,a+a+a,记作,3 a,，即,OC=3a.,显然，,3a,的方向与,a,的方向相同，,3a,的长度是,a,的长度的,3,倍，即,|3a|=3|a|.,第6页/共38页,OABC 由图可知，向量OC=OA+AB,6,P,Q,M,N,由图可知，,PN=PQ+QM+MN,=(-a)+(-a)+(-a),，把,(-a)+(-a)+(-a),记作,-3 a,，即,PN=-3a,显然，,-3a,的方向与,a,的方向相反，,-3a,的长度是,a,的长度的,3,倍，即,|-3a|=3|a|,。,第7页/共38页,PQMN由图可知，PN=PQ+QM+MN显然，-3a的方向,7,（,1,）,一般地，我们规定实数,与向量 的积是一个向量，这种运算叫做,向量的数乘,，记作 ，它的长度和方向规定如下,：,（,2,）当 时，的方向与 的方向相同；,当 时，的方向与 的方向相反。,特别的，,当 时，,思考,:,向量数乘和实数乘法有那些相同点,?,那些不同点,?,a,是一个向量；,a,的长度等于的绝对值与向量,a,的长度的乘积。,1,、,实数与向量积的定义,第8页/共38页,（1）一般地，我们规定实数与向量 的积是,8,=,2,、,实数与向量积的运算律,根据定义，求作向量,3(2,a,),和,(6,a,)(,a,为非零向量,),，并进行比较。,第9页/共38页,=2、实数与向量积的运算律根据定义，求作向量3(2a)和(6,9,2,、,实数与向量积的运算律,第10页/共38页,2、实数与向量积的运算律第10页/共38页,10,2,、,实数与向量积的运算律,A,B,C,D,E,A,D,E,第11页/共38页,2、实数与向量积的运算律ABCDEADE第11页/共38页,11,2,、,实数与向量积的运算律,结合律,分配,律,分配,律,逆运算,第12页/共38页,2、实数与向量积的运算律结合律分配律分配律第12页/共38页,12,设 为实数，那么,特别的，我们有,向量的加、减、数乘运算统称为,向量的线性运算,.,对于任意向量 ，以及任意实数 ，,恒有,第13页/共38页,设 为实数，那么特别的，我们有 向量的加,13,例,1.,计算：,注,：向量与实数之间可以像多项式一样进行运算,.,第14页/共38页,例1.计算：注：向量与实数之间可以像多项式一样进行运算.第1,14,第15页/共38页,第15页/共38页,15,练习,第16页/共38页,练习第16页/共38页,16,解：,DC=AB=a,BC=BD+DC,=(AD-AB)+DC,=b-a+a=b-a,MN=DN-DM=a-b-a=a-b,D,A,N,M,C,B,例,1:,梯形,ABCD,，且,|AB|=2|DC|,M,、,N,分别为,DC,、,AB,中点。,AB=a AD=b,用,a,，,b,表示,DC,、,BC,、,MN,。,第17页/共38页,解：DC=AB=aDANMCB例1:梯形AB,17,巩固练习,:,设,D,、,E,、,F,分别是,ABC,的边,BC,、,CA,、,AB,上的点,且,AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,CE=(1/4)CA.,若记,AB=m,CA=n.,试用,m,n,表示,DE,、,EF,、,FD,A,B,C,D,E,F,第18页/共38页,巩固练习:设D、E、F分别是 ABC的边BC、CA、AB上,18,思考,:,问题,2,：如果,向量,a,与,b,共线,那么，,b=,a,？,问题,1,：如果,b=,a,那么，向量,a,与,b,是否共线？,对于向量,a(a0),b,，以及实数,第19页/共38页,思考:问题2：如果 向量a与b共线问题1：如果 b=a,19,3.,向量共线定理,反过来，已知向量,a,与,b,共线，,a 0,，且向量,b,的长度是向量,a,的,倍，即,|b|a|=,，那么,当向量,a,与,b,同向,时，有,b=a,，,当向量,a,与,b,反向,时，有,b=-a.,也就是说：,如果,a,与,b,共线，那么有且只有一个实数，使,b=a,.,对于向量,a,（,a 0,）、,b,，如果有一个实数，使,b=a,，那么由实数与向量的积的定义知，,a,与,b,共线,.,第20页/共38页,3.向量共线定理 反过来，已知向量a与b共线，,20,思考,：若则结论如何？,第21页/共38页,思考：若则结论如何？第21页/共38页,21,练习、,已知向量,试判断,，,，,是否共线。,A,B,D,E,C,第22页/共38页,练习、已知向量试判断，是否共线。ABDEC第22页/共38,22,A,B,D,E,C,与,共线,解,：,第23页/共38页,ABDEC 与 共线 解：第23页/共,23,A,B,C,O,第24页/共38页,ABCO第24页/共38页,24,例,7:,如图，在平行四边形,ABCD,中，,M,是,AB,的,中点，点,N,是,BD,上的一点，,求证,M,、,N,、,C,三点共线,.,A,M,B,C,D,N,提示：设,AB =,a,BC =,b,则,MN=,a+,b,MC=,a+,b,所以,M.N.C,三点共线,第25页/共38页,例7:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的AMBCDN提,25,一、,a,的定义及运算律,向量共线定理,(a0),b=,a,向量,a,与,b,共线,二、定理的应用：,1.,证明 向量共线,2.,证明 三点共线,:AB=,BC A,B,C,三点共线,3.,证明 两直线平行,:,AB=,CD ABCD,AB,与,CD,不在同一直线上,直线,AB,直线,CD,第26页/共38页,一、a 的定义及运算律 二、定理的应用：直线A,26,练习,1,设,a,，,b,是两个不共线向量。,AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b,A,、,B,、,D,共线则,k=_(k,R),解：,BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b,2a+kb=(2a-b)=2a-b,2=2 =-1,k=-k=-1,k=-1,第27页/共38页,练习1 设a，b是两个不共线向量。解：BD=BC+CD=a,27,练习,2,:e,1,、,e,2,不共线,a=e,1,+e,2,b=3e,1-,3e,2.,a,与,b,是否共线。,解：假设,a,与,b,共线则,e,1,+e,2,=(3e,1,-3e,2,)=3e,1,-3e,2,1=3,1=-3,这样,不存在。,a,与,b,不共线。,第28页/共38页,练习2:e1、e2不共线,a=e1+e2,b=3e,28,练习,3:,设两非零向量,a,和,b,不共线，,如果,AB,a,b,，,CD,3,（,a,b,），,BC=2a+8b,求证：,A,、,B,、,D,三点共线。,第29页/共38页,练习3:设两非零向量a和b不共线，第29页/共38页,29,例,2:,（,2003,辽宁）已知四边形,ABCD,是菱形，,P,点在对角线,AC,上（不包括端点,A,、,C,），,则,AP,等于,(),A,、,B,、,C,、,D,、,A,第30页/共38页,例2:（2003 辽宁）已知四边形ABCD是菱形，A第30页,30,变形,1:,（,2003,全国）,O,是平面上一定点，,A,、,B,、,C,是平面上不共线的三个点，动点,P,满足,则,P,的轨迹一定通过,ABC,的,(),A,外心,B,内心,C,重心,D,垂心,B,第31页/共38页,变形1:（2003 全国）O是平面上一定点，A,31,变形,2:,OA,、,OB,不共线，,AP=tAB,，用,OA,、,OB,表示,OP,所以：,O,A,B,P,因为,OP=OA+AP,=OA+tAB=OA+t(OB-OA),=(1-t)OA+tOB,思考,:,若上式成立,则,A,、,B,、,P,有什么关系,?,反之,?,第32页/共38页,变形2:OA、OB不共线，AP=tAB，用OA、OB表示OP,32,结论：,已知,OA,、,OB,不共线，若,P,、,A,、,B,三点共线,则,则,P,、,A,、,B,三点共线,.,若,O,是平面上任意一点,且,若,O,是平面上任意一点,且,其中,则,P,、,A,、,B,三点共线,等价命题：,OA,、,OB,不共线，若,P,、,A,、,B,三点共线,则 其中,第33页/共38页,结论：已知OA、OB不共线，若P、A、B三点共线则则P、A、,33,巩固练习,:,如图,OAB,中,C,为直线,AB,上一点,AC=CB(-1),A,B,O,C,第34页/共38页,巩固练习:如图 OAB中,C为直线 AB上一点,AC=,34,练习,1,设,a,，,b,是两个不共线向量。,AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b,A,、,B,、,D,共线则,k=_(k,R),解：,BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b,2a+kb=(2a-b)=2a-b,2=2 =-1,k=-k=-1,k=-1,第35页/共38页,练习1 设a，b是两个不共线向量。解：BD=BC+CD=a,35,练习,2,:e,1,、,e,2,不共线,a=e,1,+e,2,b=3e,1-,3e,2.,a,与,b,是否共线。,解：假设,a,与,b,共线则,e,1,+e,2,=(3e,1,-3e,2,)=3e,1,-3e,2,1=3,1=-3,这样,不存在。,a,与,b,不共线。,第36页/共38页,练习2:e1、e2不共线,a=e1+e2,b=3e,36,练习,3:,设两非零向量,a,和,b,不共线，,如果,AB,a,b,，,CD,3,（,a,b,），,BC=2a+8b,求证：,A,、,B,、,D,三点共线。,第37页/共38页,练习3:设两非零向量a和b不共线，第37页/共38页,37,谢谢您的观看！,第38页/共38页,谢谢您的观看！第38页/共38页,38,