,*,*,*,*,第,24,章,人教版,九年级上册,24.1圆、垂径定理、圆心角、圆周角（1）,24.1.4 圆周角,第24章人教版九年级上册24.1圆、垂径定理、圆心角、圆,学习目标：,1.,理解圆周角定义，了解圆周角与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。,2.,掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明。,3.,经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动过程，体验圆周角定理的探究过程，培养合情推理能力、逻辑思维能力、推理论证能力和用几何语言表达的能力。,学习目标：1.理解圆周角定义，了解圆周角与圆心角的关系，会在,复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？,o,A,B,顶点在圆心的角叫圆心角。,复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？oAB顶,o,A,B,C,能仿照圆心角的定义，给下图中象,ACB,这样的角下个定义吗？,顶点,在,圆,上，并且,两边,都和,圆相交,的角叫做,圆周角,oABC能仿照圆心角的定义，给下图中象ACB 这样的角下个,P,P,P,P,不是,是,不是,不是,顶点不在圆上。,顶点在圆上，两边和圆相交。,两边不和圆相交。,有一边和圆不相交。,问题探讨：,判断下列图形中所画的,P,是否为圆周角？并说明理由。,PPPP不是是不是不是顶点不在圆上。顶点在圆上，两边和圆相交,有没有圆周角？,有没有圆心角？,它们有什么共同的特点？,它们都对着,同一条弧,有没有圆周角？有没有圆心角？它们有什么共同的特点？它们都对着,画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置,?,A,B,o,C,o,A,B,C,o,A,B,C,圆心在一边上,圆心在角内,圆心在角外,画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置?ABoC,如图,观察圆周角,ABC,与圆心角,AOC,它们的大小有什么关系,?,O,A,B,C,O,A,B,C,O,A,B,C,如图,观察圆周角ABC与圆心角AOC,它们的大小有什么关,圆周角,和,圆心角,的关系,同弧所对的,圆周角,等于它所对的,圆心角的一半,.,圆周角和圆心角的关系同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,O,A,B,C,第二种情况：,如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样,?,2.,当,圆心,O,在圆周角,(ABC),的内部时,圆周角,ABC,与圆心角,AOC,的大小关系会怎样,?,OABC第二种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样,提示,:,能否转化为,1,的情况,?,过点,B,作直径,BD.,由,1,可得,:,O,ABC = AOC.,A,B,C,D,ABD = AOD,CBD = COD,同弧所对的,圆周角,等于它所对的,圆心角,的一半,.,提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:O,O,A,B,C,第三种情况：,如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样,?,3.,当,圆心,O,在圆周角,(ABC),的外部时,圆周角,ABC,与圆心角,AOC,的大小关系会怎样,?,OABC第三种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样,提示,:,能否也转化为,1,的情况,?,过点,B,作直径,BD.,由,1,可得,:,O,ABC = AOC.,你能写出这个命题吗,?,同弧所对的,圆周角,等于它所对的,圆心角,的一半,.,D,ABD = AOD,CBD = COD,A,B,C,提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:O,巩固练习：,如图，点,A,B,C,D,在同一个圆上，四边形,ABCD,的对角线把,4,个内角分成,8,个角，这些角中哪些是相等的角？,A,B,C,D,1,2,3,4,5,6,7,8,巩固练习：如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四边形ABCD,圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系,在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。,在同圆或等圆中，,圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系 在同圆或等圆中，,A,B,C,1,O,C,2,C,3,归纳：,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半,定理,半圆（或直径）所对的圆周角是直角,;,90,的圆周角所对的弦是直径,在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等,推论,ABC1OC2C3归纳：定理 半圆（或直径）所对的圆,2.,如图，圆心角,AOB=100,，则,ACB=_,。,O,A,B,C,B,A,O,.,70,x,1.,求圆中角,X,的度数,A,O,.,X,120,A,O,.,X,120,C,C,D,B,练习：,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_,在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？,在同圆或等圆中，如果两个,圆周角,相等，它们所对的,弧,一定相等,在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为,B,A,C,D,E,E,O,B,D,C,A,规律：都相等，都等于圆心角,AOC,的一半,AC,所对的圆周角,AEC ABC ADC,的大小有什么关系？,结论：,同弧或等弧,所对的圆周角相等。,当球员在,B,D,E,处射门时,他所处的位置对球门,AC,分别形成三个张角,ABC, ADC,AEC.,这三个角的大小有什么关系,?.,BACDEEOBDCA规律：都相等，都等于圆心角AOC的,A,B,C,D,在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等,.,则 ,D=A,ABCD,如图,若,AC = BD,ABCD在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等.则 D=,问题,1,：如图，,AB,是,O,的直径，请问：,C,1,、,C,2,、,C,3,的度数是,。,A,B,O,C,1,C,2,C,3,推论：半圆（或直径）所对的圆周角是,直,90,的圆周角所对的弦是,直径,。,问题,2,： 若,C,1,、,C,2,、,C,3,是直角，那么,AOB,是,。,90,180,探究与思考：,问题1：如图，AB是O的直径，请问：ABOC1C2C3 推,1,、如图，在,O,中，,ABC=50,，则,AOC,等于（ ）,A,、,50,；,B,、,80,；,C,、,90,；,D,、,100,A,C,B,O,D,2,、如图，,ABC,是等边三角形，动点,P,在圆周的劣弧,AB,上，且不与,A,、,B,重合，则,BPC,等于（ ）,A,、,30,；,B,、,60,；,C,、,90,；,D,、,45,C,A,B,P,B,练一练,1、如图，在O中，ABC=50，则AOC等于（,3,、如图，,A=50,， ,AOC=60 ,BD,是,O,的直径，则,AEB,等于（ ）,A,、,70,；,B,、,110,；,C,、,90,；,D,、,120,B,A,C,B,O,D,E,练一练,3、如图，A=50， AOC=60 BACBODE练,3,、如图，,A=50,， ,AOC=60 ,BD,是,O,的直径，则,AEB,等于（ ）,A,、,70,；,B,、,110,；,C,、,90,；,D,、,120,B,4,、如图，,ABC,的顶点,A,、,B,、,C,都在,O,上，,C,30 ,，,AB,2,，,则,O,的半径是,。,A,C,B,O,D,E,C,A,B,O,解：连接,OA,、,OB,C=30 ,，,AOB=60 ,又,OA=OB,，,AOB,是等边三角形,OA=OB=AB=2,，即半径为,2,。,2,3、如图，A=50， AOC=60 B4、如图，A,3.,已知,O,中弦,AB,的等于半径，,求弦,AB,所对的圆心角和圆周角的度数。,O,A,B,圆心角为,60,度,圆周角为,30,度,或,150,度。,3.已知O中弦AB的等于半径，OAB圆心角为60度圆周角为,在,O,中，,CBD=30 ,BDC=20,求,A,在O中，CBD=30 ,BDC=20,求A,在,O,中，,CBD=30 ,BDC=20,求,A,在O中，CBD=30 ,BDC=20,求A,2,、如图，在,O,中，,AB,为直径，,CB = CF,弦,CGAB,，交,AB,于,D,，交,BF,于,E,求证：,BE=EC,2、如图，在O中，AB为直径，CB = CF,例,:,如图，,AB,是,O,的直径,AB=10cm,弦,AC=6cm,ACB,的平分线交,O,于点,D .,求,BC, AD ,BD,的长,.,10,6,例: 如图，AB是O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,练习,:,如图,AB,是,O,的直径, C ,D,是圆上的两点,若,ABD=40,则,BCD=,.,A,B,O,C,D,40,练习:如图 AB是O的直径, C ,D是圆上的两点,若A,5.,如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下,D,A,B,C,O,O,O,方法一,方法二,方法三,方法四,A,B,5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？,例,2,在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门,MN,进攻，当甲带球冲到,A,点时，乙已跟随冲到,B,点,(,如图,2),此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？,分析,在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门,MN,的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截,.,怎样比较,A,、,B,两点对,MN,张角的大小呢？,B,例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进,例,2,在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门,MN,进攻，当甲带球冲到,A,点时，乙已跟随冲到,B,点,(,如图,2),此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？,分析,在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门,MN,的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截,.,怎样比较,A,、,B,两点对,MN,张角的大小呢？,B,例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进,解,考虑过,M,、,N,以及,A,、,B,中的任一点作一圆，这里不妨作出,BMN,，显然，,A,点在,BMN,外，设,MA,交圆于,C,，则,MAN,MCN,，而,MCN=MBN,，,所以,MAN,MBN,因此，甲应将球回传给乙，让乙射门,.,B,解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，这里不妨作出B,A,B,E,C,O,D,如图所示，已知,ABC,的三个顶点都在,O,上，,AD,是,ABC,的高，,AE,是,O,的直径,.,求证：,BAE,CAD,ABECOD 如图所示，已知ABC的三个顶点都在O上,回顾：圆周角定理及推论？,思考：判断正误：,1.,同弧或等弧所对的圆周角相等（）,2.,相等的圆周角所对的弧相等（）,3.90,角所对的弦是直径（）,4.,直径所对的角等于,90,（ ）,5.,长等于半径的弦所对的圆周角等于,30,（ ）,第二课时应用,回顾：圆周角定理及推论？第二课时应用,例 如图，,O,直径,AB,为,10cm,，弦,AC,为,6cm,，,ACB,的平分线交,O,于,D,，求,BC,、,AD,、,BD,的长,又在,Rt,ABD,中，,AD,2,+,BD,2,=AB,2,，,解：,AB,是直径，, ,ACB,= ,ADB,=90,在,Rt,ABC,中，,CD,平分,ACB,，,AD=BD,.,例题,例 如图，O直径AB为10cm，弦AC为6cm，AC,3.,求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆,.,）,A,B,C,O,求证： ,ABC,为直角三角形,.,已知：,ABC,中，,CO,为,AB,边上的中线，,且,CO= AB,3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角,A,B,C,O,证明：,CO= AB,以,AB,为直径作,O,，,AO=BO,，,AO=BO=CO.,点,C,在,O,上,.,又,AB,为直径,ACB= 180= 90.,ABC,为直角三角形,.,ABCO证明：CO= AB,以AB为直径作O，A,1.,如图，,OA,、,OB,、,OC,都是,O,的半径，,AOB=2BOC,，,ACB,与,BAC,的大小有什么关系？为什么？,2.,如图，,A,、,B,、,C,、,D,是,O,上的四个点，且,BCD=100,，求,BOD,（ 所对的圆心角）,和,BAD,的大小。,课堂练习,1.如图，OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2BO,3,、如图，,AB,是,O,的直径，,BD,是,O,的弦，延长,BD,到点,C,，使,DC=BD,，连接,AC,交,O,于点,F,，点,F,不与点,A,重合。,（,1,）,AB,与,AC,的大小有什么关系？为什么？,（,2,）按角的大小分类，请你判断,ABC,属于哪一类三角形，并说明理由。,A,C,B,D,F,O,探究,3、如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，,A,C,B,D,F,O,ABC,是锐角三角形,解：（,1,）,AB=AC,。,证明：连接,AD,又,DC=BD,，,AB=AC,。,（,2,）,ABC,是锐角三角形。,由（,1,）知，,B=C,90 ,连接,BF,，则,AFB=90 ,，,A,90 ,AB,是直径，,ADB=90,，,ACBDFOABC是锐角三角形解：（1）AB=AC。证,1.AB,、,AC,为,O,的两条弦，延长,CA,到,D,，使,AD=AB,，如果,ADB=35,，,求,BOC,的度数。,2,、如图，在,O,中，,BC=2DE,， ,BOC=84,，,求,A,的度数。,BOC =140,A=21,1.AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使,4,、在,O,中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为,(2x+100),和,(5x-30),，则,x=,_ _,；,3.,如图，在直径为,AB,的半圆中，,O,为圆心，,C,、,D,为半圆上的两点，,COD=50,，则,CAD=_,；,20,50,4、在O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100,拓展练习,如图,点,P,是,O,外一点,点,A,、,B,、,Q,是,O,上的点。,（,1,）求证,P, ,AQB,（,2,）如果点,P,在,O,内， ,P,与,AQB,有怎样的关系？为什么？,拓展练习如图,点P是O外一点,点A、B、Q是O上的点。,作业：,1.,课本,p88,页练习：,1,、,2,、,3,、,4,题。,2.,课本,p88,页习题：,5,、,6,、,14,题。,作业：1.课本p88页练习：1、2、3、4题。,蔡琰（作者有待考证）的,胡笳十八拍,郭璞的,游仙诗,鲍照的,拟行路难,庾信的,拟咏怀,都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了,orz,。,最后还想推一下萧绎的,幽逼诗,四首：,【,南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。,】,南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。,蔡琰（作者有待考证）的胡笳十八拍郭璞的游仙诗鲍照,蔡琰（作者有待考证）的,胡笳十八拍,郭璞的,游仙诗,鲍照的,拟行路难,庾信的,拟咏怀,都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了,orz,。,最后还想推一下萧绎的,幽逼诗,四首：,【,南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。,】,南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。,蔡琰（作者有待考证）的胡笳十八拍郭璞的游仙诗鲍照,蔡琰（作者有待考证）的,胡笳十八拍,郭璞的,游仙诗,鲍照的,拟行路难,庾信的,拟咏怀,都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了,orz,。,最后还想推一下萧绎的,幽逼诗,四首：,【,南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。,】,南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。,蔡琰（作者有待考证）的胡笳十八拍郭璞的游仙诗鲍照,