单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3.1（二）正弦函数的性质,1.3.1（二）正弦函数的性质,1,由正弦函数,y,=sin,x,的作图过程以及正弦函数的定义，容易得出正弦函数,y,=sin,x,还有以下重要性质.,(1)定义域：,正弦函数,y,=sin,x,的定义域是实数集R或(，)，记作：,y,sin,x,，,x,R.,由正弦函数y=sinx的作图过程以及正弦函数的,2,(2)值域,:因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线y=1和y=1之间，所以sin,x,1，即1sin,x,1,也就是说，正弦函数的值域是1，1.,(2)值域:因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径,3,正弦函数,y,=sin,x,x,R,当且仅当,x,2,k,，,k,Z时，正弦函数取得最大值1；,当且仅当,x,2,k,，,k,Z时，正弦函数取得最小值1,正弦函数y=sinx,xR当且仅当x 2k,4,(3)周期性:,由sin(,x,2,k,)sin,x,(,k,Z)知：,正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。当自变量,x,的值每增加或减少2,的整数倍时，正弦函数y的值重复出现。这种性质称为,三角函数的周期性,。,(3)周期性:由sin(x2k)sin,5,一般地，对于函数,f,(,x,)，如果存在一个非零常数,T,，使得当,x,取定义域内的每一个值时，都有,f,(,x,T,),f,(,x,),，那么函数,f,(,x,)就叫做周期函数，非零常数,T,叫做这个函数的周期,一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，,6,(1)“每一个值”，只要有一个反例，则,f,(,x,)就不为周期函数（如,f,(,x,0,+T),f,(,x,0,)）；,(1)“每一个值”，只要有一个反例，则f(x)就不为周期,7,(2)T往往是多值的（如,y,=sin,x,T=2,4,2,4,都是周期）周期T中最小的正数叫做,f,(,x,)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期,如常值函数 f(x)=1）.,(2)T往往是多值的（如y=sinx,T=2,4,8,根据上述定义，可知：正弦函数是周期函数，2,k,(,k,Z且,k,0)都是它的周期，,最小正周期是2,.,根据上述定义，可知：正弦函数是周期函数，2k(k,9,(4)奇偶性:,由sin(,x,)sin,x,可知：,y,sin,x,为奇函数,因此正弦曲线关于原点,O,对称.,y=sinx,y,x,o,-,-1,2,3,4,-2,-3,1,(4)奇偶性:由sin(x)sinx,可知：ys,10,(5),单调性,y=sinx (x,R),增区间为 ,，,其值从-1增至1,x,y,o,-,-1,2,3,4,-2,-3,1,x,sinx,0 ,-1,0,1,0,-1,减区间为 ,，,其值从 1减至-1,+2k,+2k,k,Z,+2k,+2k,k,Z,(5)单调性 y=sinx (xR)增区间为,11,（6）对称性,x,6,y,o,-,-1,2,3,4,5,-2,-3,-4,1,对称中心,（k,0),最大值点,最小值点,X=2k,+/2,X=2k,-/2,对称轴,X=k,+/2,（6）对称性x6yo-12345-2-3,12,例1：求使下列函数取得最大值的自变量,x,的集合，并说出最大值是什么.,(1),y,sin2,x,，,x,R;(2),y,=sin(3,x,+)1,(1)令,w,2,x,，那么,x,R得,Z,R，且使函数,y,sin,w,，,w,R，取得最大值的集合是,w,w,2,k,，,k,Z,由2,x,w,2,k,，,得,x,k.,即 使函数,y,sin2,x,，,x,R取得最大值的,x,的集合是,x,x,k,，,k,Z,函数,y,sin2,x,，,x,R的最大值是1.,例1：求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值,13,(2)当3,x,+=2,k,+即,x,=(,k,Z)时,y的最大值为0.,(2)当3x+=2k+即 x=,14,例2.求函数y=sin,2,x+4sinx的最小值,y=(sinx+2),2,-4,当sinx=-1 时,y,min,=-3,注意:,化为二次函数时,要,注意sinx作为自变量时,它的取值范围是-1,1,例2.求函数y=sin2x+4sinx的最小值y=(sinx,15,练习.函数y=cos,2,x+sinx的最小值,y=-(sinx-1/2),2,+5/4,练习.函数y=cos2x+sinx的最小值y=-(sinx,16,例3：求下列三角函数的周期：,y=sin(3,x,)；,y=2sin(-),f,(,x,T,),f,(,x,),例3：求下列三角函数的周期：f(xT)f(x),17,解：设周期为T，则,f(x+T)=,f(x)=sin3x,由,f(x)=f(x+T),得，s,in3x=sin(3x+3T),，,sin3(x+T),（1）y=sin(3,x,),3x+2=3x+3T,解得T=.,解：设周期为T，则f(x+T)=f(x)=sin3x由f(x,18,正弦函数的性质课件,19,一般地，函数,y,A,sin(,x,),（其中 ）的周期是,一般地，函数yAsin(x),20,例4：不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0,(1)sin()sin()；,(2)sin()sin(),解：(1),且函数,y,sin,x,，,x,，是增函数,即sin()sin()0,例4：不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0,解：(1),21,(2)sin()sin,sin()sin,函数y=sin,x,在区间()内为增函数,sin()sin()0.,(2)sin()sin sin(,22,例5 求下列函数的单调区间：,(1)y=3sin(2x-),单调增区间为,解：,单调减区间为,例5 求下列函数的单调区间：(1)y=3sin(2x-,23,课堂练习,课堂练习,24,