13.4,课题学习,最短路径问题,人教版数学八年级上册,13.4 课题学习 最短路径问题人教版数学八年级上册,1,1.,能利用轴对称解决简单的最短路径问题,.,2.,体,会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想,学习目标,1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化,利用对称知识解决最短路径问题,“两点的所有连线中，,线段最短,”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，,垂线段最短,”等的问题，我们称之为最短路径问题,.,A,B,P,l,A,B,C,D,现实,生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”,.,探究新知,利用对称知识解决最短路径问题 “两点的所有连线中，线段,如,图，牧马人,从,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然后到,B,地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,C,抽象成,A,B,l,数学问题,作图问题：,在直线,l,上求作一点,C,使,AC,+,BC,最短问题,.,实际问题,A,B,l,如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮,现在,假设点,A,B,分别是直线,l,异侧,的两个点，如何在,l,上找到一个点，使得这个点到点,A,，点,B,的距离的和最短？,根据“,两点之间，线段最短,”，可知这个交点即为所求,.,解,：,连接,AB,与直线,l,相交于一点,C,.,问题1：,A,l,B,C,现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，,如果,点,A,B,分别是直线,l,同侧,的两个点，又应该如何,解决所走路径最短的问题？,【,思考,】,对于,问题,2,，如何将点,B,“,移”到,l,的另一侧,B,处，满足直线,l,上的任意一点,C,，都保持,CB,与,CB,的长度相等？,A,B,l,利用轴对称，作出点,B,关于直线,l,的对称点,B,.,问题,2,：,如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，,作法：,（,1,）,作点,B,关于直线,l,的对称点,B,；,（,2,）,连接,AB,，与直线,l,相交于点,C,则点,C,即为所求,A,B,l,B,C,作法：ABlB C,你,能用所学的知识证明,AC+BC,最短吗？,证明：,如图，在直线,l,上任取一点,C,(,与点,C,不重合,),，连接,AC,，,BC,，,BC,由轴对称的性质知，,BC,=BC,，,BC=BC,AC+BC,=,AC+BC=AB,，,AC+BC=AC+BC,在,ABC,中,，,AB,AC+BC,，,AC+BC,AC+BC,即,AC+BC,最短,问题,3,：,A,B,l,B,C,C,你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线,例,1,如图，已知点,D,、点,E,分别是等边三角形,ABC,中,BC,、,AB,边的中点，,AD,=5，点,F,是,AD,边上的动点，则,BF,+,EF,的最小值为（）,A7.5,B5,C4,D不能确定,解析：,ABC,为等边三角形，点,D,是,BC,边的中点，即,点,B,与点,C,关于直线,AD,对称,.,点,F,在,AD,上，故,BF=CF.,即,BF,+,EF,的最小值可转化为求,CF,+,EF,的最小值，,故连接,CE,即可，,线段,CE,的长即为,BF,+,EF,的最小值,.,而,CE,=,AD,.,B,考点探究,1,最短路径问题,的应,用,例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、A,此,类求,线段和的最小值问题,，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长,，再,根据已知条件求解,.,方法点拨,此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求,1.,如图，直线,l,是一条河，,P,、,Q,是两个村庄,.,欲在,l,上的某处修建一个水泵站，向,P,、,Q,两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（,）,D,P,Q,l,A,M,P,Q,l,B,M,P,Q,l,C,M,P,Q,l,D,M,巩固练习,1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修,2,.,如图，,A,、,B,是两个蓄水池，都在河流,a,的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到,A,、,B,两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）,.,解：,如图,，,P,点即为该点,.,2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌,例,2,如图，在直角坐标系中，点,A,，,B,的坐标分别为（1，4）和（3，0），点,C,是,y,轴上的一个动点，且,A,，,B,，,C,三点不在同一条直线上，当,ABC,的周长最小时点,C,的坐标是（）,A（0，3）B（0，2）,C（0，1）D（0，0）,解析：,作,B,点关于,y,轴,对称点,B,，连接,AB,，交,y,轴于点,C,，此时,ABC,的周长最小，然后依据点,A,与点,B,的坐标可得到,BE,、,AE,的长，然后证明,B,C,O,为等腰直角三角形即可,B,C,E,A,探究新知,例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，,求,三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，,连线与动点所在直线的交点,即为三角形周长最小时动点的位置,.,方法点拨,求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，,3.,如图，已知牧马营地在,P,处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线,.,解：,如图,AP,+,AB,即为最短的放牧路线,.,巩固练习,3.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮,如图，,A,和,B,两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥,MN,.,桥造在何处可使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,？,B,A,A,B,N,M,利用平移知识解决造桥选址问题,探究新知,如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造,B,A,?,N,M,N,N,M,如,图假定任选位置造桥,MN,，连接,AM,和,BN,，从,A,到,B,的路径是,AM,+,MN,+,BN,，那么怎样确定桥的位置，才能使,A,到,B,的路径最短呢？,M,BA?NMNNM 如图假定任选位置造桥M,【,思考,】,我们,能否在不改变,AM+MN+BN,的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？,1.,把,A,平移到岸边,.,2.,把,B,平移到岸边,.,3.,把桥平移到和,A,相连,.,4.,把桥平移到和,B,相连,.,B,A,【思考】我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一,B,A,A,B,1.,把,A,平移到岸边,.,AM,+,MN,+,BN,长度改变,了,.,2.,把,B,平移到岸,边,.,AM,+,MN,+,BN,长度改变,了,.,BAAB1.把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变,B,A,3.,把桥平移到和,A,相连,.,4.,把桥平移到和,B,相连,.,AM,+,MN,+,BN,长度有没有改变呢？,BA3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AM,B,A,A,1,M,N,如,图，平移,A,到,A,1,，使,AA,1,等于河宽，连接,A,1,B,交河岸于,N,作桥,MN,，此时路径,AM,+,MN,+,BN,最短,.,理由,:,另任作桥,M,1,N,，连接,AM,，,BN,，,A,N,.,由平移性质可知，,AM,A,N,，,AA,MN,M,N,，,AM,A,N,.,AM+MN+BN,转化,为,AA,1,A,1,B,，,而,AM,1,+,M,1,N,1,+BN,1,转化为,AA,1,A,1,N,1,+,BN,1.,在,A,N,B,中，因为,A,1,N,1,+,BN,1,A,1,B.,因此,AM,1,+M,1,N,1,+BN,1,AM+MN+BN.,BAA1MN 如图，平移A到A1，使AA1等于,A,B,M,N,E,C,D,证明：,由平移的性质，得,BN,EM,且,BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以,A,到,B,的路径长,为,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在,CD,处，连接,AC,CD,DB,CE,则,A,到,B,的路径长为,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在,ACE,中，,AC+CE,AE,AC+CE+MN,AE+MN,即,AC+CD+DB,AM+MN+BN,，,所以桥的位置建在,MN,处，,A,到,B,的路径,最短,.,ABMNECD证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=,解决最短路径问题的方法,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择,.,方法点拨,解决最短路径问题的方法 在解决最短路径问题时，我们通常,4,.,牧马人从,A,地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到,B,处，请画出最短路径,.,A,B,P,Q,.,.,.,.,巩固练习,4.牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到,如,图，在正方形,ABCD,中，,E,，,F,分别为,AD,，,BC,的中点，,P,为对角线,BD,上的一个动点，则下列线段的长等于,AP,+,EP,最小值的是（,）,A,AB,B,DE,C,BD,D,AF,解析：,如图，连接,CP,，由,AD,=,CD,，,ADP,=,CDP,=45,，,DP,=,DP,，可得,ADP,CDP,，,AP,=,CP,，,AP,+,PE,=,CP,+,PE,，,当点,E,，,P,，,C,在同一直线上时，,AP,+,PE,的最小值为,CE,长,，,此时，由,AB,=,CD,，,ABF=,CDE,，,BF,=,DE,，,可,得,ABF,CDE,，,AF,=,CE,，,AP,+,EP,最小值等于线段,AF,的,长,D,连接中考,如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，B,1.,如图，直线,m,同侧有,A,、,B,两点，,A,、,A,关于直线,m,对称，,A,、,B,关于直线,n,对称，直线,m,与,AB,和,n,分别交于,P,、,Q,，下面的说法正确的是（,）,A,P,是,m,上到,A,、,B,距离之和最短,的点，,Q,是,m,上到,A,、,B,距离相等的点,.,B,Q,是,m,上到,A,、,B,距离之和最短,的点，,P,是,m,上到,A,、,B,距离相等的,点,.,C,P,、,Q,都是,m,上到,A,、,B,距离之和,最短,的,点,.,D,P,、,Q,都是,m,上到,A,、,B,距离,相等的,点,.,A,.,课堂检测,基础题,1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A关于直线m对称，A,2.,如图，,AOB,=30，,AOB,内有一定点,P,，且,OP,=10,在,OA,上有一点,Q,，,OB,上有一点,R,若,PQR,周长最小，则最小周长是（）,A10 B15,C20 D30,A,2.如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=1,3.,如图，牧童在,A,处放马，其家在,B,处，,A,、,B,到河岸的距离分别为,AC,和,BD,，且,AC,=,BD,若点,A,到河岸,CD,的中点的距离为,500,米，则牧童从,A,处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是,米,.,A,C,B,D,河,1000,3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别,4.,如图，边长为1的正方形组成的网格中，,AOB,的顶点均在格点上，点,A,、,B,的坐标分别是,A,（3，2），,B,（1，3）点,P,在,x,轴上，当,PA,+,PB,的值最小时，在图中画出点,P,x,y,O,B,A,B,P,解析：,作出点,B,关于,x,轴的对称点,B,，连接,AB,交,x,轴于点,P,，点,P,就是所求的点,.,4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，AOB的顶点均在格,如,图，荆州古城河在,CC,处直角转弯，河宽