,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,6,热传导问题的有限元法,本章应用变分原理，将求解域的微分方程，转化为泛函，然后通过求泛函的极值，找到原问题的解。,6-1,问题的提出,前面对于力学问题，采用直接法或者虚功原理，建立了有限元的求解格式。,但是对于非结构问题，必须借助数学工具：变分原理分析，求泛函的极值。,比如，热传导中稳定温度场的求解是工程中经常遇到的问题。,对于均质物体内温度不随时间变化的情况，温度分布函数,T,=,T,(,x,y,z,),应满足拉普拉斯方程：再加上用得最多（一般）的边界条件,除非几何形状特别简单，如无限大平面，半无限大平面，圆平面，一般无法得到解析解。为此要采用数值方法。有限元法即是其中的一种可选的方法。,有限元法求解偏微分方程的思路：,1,）利用变分原理将偏微分方程转化为等价的泛函；,2,）假设单元上的场变量变化形式，即插值函数或试探函数；,3,）寻找试探函数的系数,节点场变量，以使泛函取极值。,下面首先简要介绍变分、泛函，然后推导有限元格式。,6-2,泛函与变分的基本概念,函数：,z,=,f,(,x,),，,x,变，,z,变。,泛函：平面上两点,A,、,B,之间的距离,Iy,变，,I,变。,I,是,y,的泛函,函数的函数。,一 泛函,定义：函数值因另外一个或几个函数确定，这个函数称为泛函。,二 泛函的极值,函数,z,=,f,(,x,),有极值问题。如果表明，,z,相对于,x,的变化具有局部稳定性，,z,向左也不是，向右也不是，此时，,z,取极值。,泛函,I,也有极值。使泛函取极值的自变函数,称为泛函的极值点，它使泛函在该处的值具有稳定性。,当然，使泛函取得极值的自变函数,的变化要复杂的多。,三 变分法,函数取极值的条件：，称为微分。,泛函取极值的条件：，称为变分。,四 变分,函数微分可以用来研究函数,z,在,x,处的变化。,类似，泛函在某点,y,的变化，可以通过对泛函的变分来观察。,I,泛函，,任意小的正数。,五 泛函取极值的条件,函数在,x,0,处取极值的条件：,泛函,I,=,I,y,(,x,),在,y,=,y,0,(,x,),处取极值的必要条件是,I,=0,，即上式的含义是：异于,y,0,(,x,),的,y,都使,I,偏离最大值点或最小值点，此时，,I,处于“左也不是，右也不是”的状态。,可见，函数取极值的必要条件和泛函取极值的必要条件是类似的。只不过函数的自变量在极值点附近的变化方式，比泛函中的自变函数的变化方式要简单一些而已。,六 变分法预备定理,设函数,F,(,x,),在,x,1,x,2,连续，对于,y,(,x,),，如果有则 。,y,(,x,),是,y,的变分。,y,(,x,),的条件：一阶或若干阶可微，在,x,1,x,2,处为零；,|,y,|,或,|,y,|,及,|,y,|,，,等,。,这些话的意思是：,y,是连续区间,x,1,x,2,中一段曲线。该曲线的变分，就是说它可以变化。这种变化可以是：值的变化，一阶导数的变化，高阶导数的变化等。,下面证明：一维泛函（只与一个函数有关）取极值的条件。,设有泛函,其中：泛函中的自变函数,y,(,x,),（平面上的曲线）在积分区间,x,1,x,2,的端点,x,1,x,2,处的值是已知的，即认为函数 三阶可微。,根据变分的定义，要使泛函取极值，则,其中，,y,使,I,取极值，,y,+, y,是一个微小的变化。,令,= 0,，则（,y,成为使,I,取极值的点）,上式右端中，因为,带入前式,由变分基本定理知，一维泛函取极值的条件,上面的过程可以总结为,（,1,）写出泛函表达式 ；,（,2,）设使泛函取得极值的自变函数为,y,，那么，异于,y,的自变函数可写成,y,+, y,，,它的高阶项为,y,+, y,；,（,3,）使泛函取极值的条件,（,4,）展开上式，将其中的,y,设法从变分中分离出来。这个过程要用到分步积分。最后形成,（,5,）根据变分基本定理，在,y,满足一般性条件时，即可得出：,I,= 0,或,I,取极值的条件,（）,=0,对于一个场的描述有两种方法,：,1,）积分法；,2,）微分法。,两种方法的求解基本思路,：,（,1,）积分法 假设场变量的变化模式。这种变化方式可以用多项式或三角函数多项式表达，它含有若干待定系数，即每一项前的系数。,将这一多项式带入泛函积分表达式中。根据系统达到的最终状态，就是能量最小状态（泛函极值的条件），可以求出多项式前的各系数，这样即可求出对原问题的近似解。,（,2,）微分法 假设场变量的值,y,，写出空间某点,y,的变化率，,y,的解与边界条件有关。,积分法和微分法的联系,微分方程是泛函取极值的必要条件，但它对函数性态的要求稍高。,七 变分原理,变分原理：即泛函极值与求解特定微分方程及其边界条件等价的原理。,即：满足微分方程及其边界条件的函数，一定使泛函取极值；使泛函取极值的必要条件就是对应的微分方程及其边界条件。,例,最速降线问题。,平面上两点,A,和,B,，不在同一水平线上，也不在同一铅垂线上。现有一物体从,A,沿某条曲线,y,=,f,(,x,),滑到,B,。求解使物体下滑速度最快或时间最短的曲线,y,=,f,(,x,),。不计物体与曲线间的摩擦力。,解,分析：物体从,A,点到达,B,点所花的时间,t,与路径,y,=,f,(,x,),有关。可以将时间,t,看成是路径,y,的泛函，,y,是自变量函数。物体下滑时间最短，意味着求泛函,t,的极值。,问题的关键：建立时间,t,与路径,y,的一般表达式。,设,A,点与坐标原点重合，,B,点的坐标为,B,(,x,1,y,1,),。从,A,点到达任意点,P,的速度为,v,，失去的位能为,mgy,，获得的动能为,1/2,mv,2,。,由能量守恒定律,从另一方面看，弧长,s,对时间的导数即为速度,因为,所以,从,A,到,B,积分，便得到下滑所需的时间,即：下滑时间,t,是,y,(,x,),的泛函，记作,T,y,(,x,),这一命题可表达如下：,在满足,y,(0)=0,，,y,(,x,1,)=,y,1,的一切函数,y,(,x,),中，选取一个函数，使泛函,T,y,(,x,),为最小。,上面问题的求解可以采用两种方法：,1,）积分法；,2,）微分法。,1,）积分法：把,y,写成多项式的形式，然后写出积分的显示表达式。使,T,对多项式中的各项系数分别求导，并令其等于零，可以得到一组方程，求解这组方程，得到各系数，则求得对原问题的近似解。,2,）微分法：求解使泛函达到极值的微分方程及其边界条件。,下面采用微分法求解该问题。,由,T,y,(,x,),的表达式,可见被积函数为,根据使泛函取极值的条件,展开上式（注意到,F,不显含,x,）,另一方面,比较上面两式可得,积分一次有,上式即为泛函中被积函数不显含,x,时的极值条件。,对于最速降线问题，已知,带入泛函取极值的条件有,整理后,所以,这是一个常微分方程，用参数解法。,令,有,由 ，可得,积分可得,由边界条件,y,(0)=0,，可得,C,2,=0,。,从而,由平面解析几何知识可知，该曲线是以,C,1,/2,为半径的圆的旋轮线（摆线）。常数,C,1,可由,y,(,x,1,)=,y,1,求出。,6-3,稳定温度场的变分原理,前述给出三维稳定温度场应满足的微分方程和边界条件。为简单起见，下面只讨论轴对称问题的稳定温度场的微分方程及其边界条件与泛函和变分的联系。,轴对称问题的特征：,1,）几何形状轴对称；,2,）边界条件和外界温度负载轴对称。,上面的,1,和,2,保证了物体内任意一点的温度只与,r,和,z,有关，而与,无关，这样，三维的轴对称问题就降为二维平面问题。,z,是轴线方向，,r,是半径线方向，,是圆周方向。,轴对称问题的微分方程和边界条件为,上式的泛函是,轴对称稳定温度场的变分原理：满足微分方程及其边界条件的函数,T,(,r,z,),使上面的泛函取极小值；使上述泛函取极小值的函数,T,(,r,z,),一定满足微分方程及其边界条件。（证明过程略）,泛函并不比微分方程及其边界条件简单。但利用变分原理将问题转化为求泛函的极值至少有两点好处：,（,1,）从微分方程出发，无法导出有限元计算格式，从泛函出发就可以；,（,2,）利用泛函求解与直接求解微分方程有不同的特点：,1,）边界条件：对于微分方程边值问题，边界条件必须作为定解条件列出，而求泛函极值问题时，这一条件将自动满足；,2,）导数阶次：微分方程含有二阶导数，泛函只含一阶导数，所以采用泛函求极值方法解稳定温度场问题，求解相对容易。尤其是采用有限元法求解近似解时，这些有利因素可以充分发挥。,6-4,二维稳定温度场的有限元格式,下面从稳定温度场的泛函表达式出发，利用等参,数单元的思想，推导,8,节点平面和轴对称稳定温度场的等参数单元的计算格式。,一 单元温度刚阵格式的形成,1,温度泛函,说明,：（,1,）上式是单元泛函表达式，因此其中,x,y,的变化范围，仅限于单元内部。整个求解域的泛函为单元泛函的代数和。,如果温度场使整个求解域的泛函取极小值，那么就意味着要将所有单元的泛函相加（集成），并使之成为极小。,（,2,）上式是平面问题和轴对称问题写在一起的格式。对于平面问题，,R,=1,；对于轴对称问题，,R,=,r,(,径向坐标,),，,dx,相当于,dr,，,dy,相当于,dz,。,（,3,）式中,f,=,T,0,，是由,得到的，即,2,泛函中各函数的确定,（,1,）温度插值函数,8,节点等参元的温度插值结果为,其中形状函数为,根据上式，可以在求出节点温度后，计算单元内任意一点的温度值。,局部坐标下的单元形状、节点排列和编号如图所示。节点的坐标为,（,2,）坐标变换函数,（,3,）坐标变换,1,）导数 与 之间的变换。,由,或,从而,令,则,最后得,2,）面积微分的变换,3,）,ds,与,d,或,d,之间的变换,当,ds,在,(2),、,(4),边时，,=,常数，,d,=0,，则,当,ds,在,(1),、,(3),边时，,=,常数，,d,=0,，则,为便于推导，写成统一的形式,3,温度刚度矩阵的形式,又知,所以,将它们带入,G,(e),中,为了方便后面求泛函极值，这里先写出,G,(e),对单元节点温度,T,i,的偏导数,将上式按,=1,2,8,展开，并写成矩阵形式，有：,或,式中 均与温度,T,无关，只是,的函数，而,A,和,B,则是节点温度,T,1,T,2,T,8,的函数。,又由于,所以,从上式可以看出,即 为对称矩阵。,二 右端项格式的形成,现在再来看,Z,(e),。,我们也写出,Z,(e),对,T,i,的偏导数,将上式展开，并写成列矩阵，有,或,其中各个元素的表达式,可以看出 ，即 是对称的。,回到单元温度泛函的表达式,将其对温度求导，有,将前述推导带入，并写成矩阵形式有,令 ，可得,其中， 的元素为,即为单元温度刚阵的最后形式。,三 总体合成,由于求解区域内的温度泛函等于各个单元的温度泛函之和，从而有,式中,E,0,为单元总数。,于是,式中,根据泛函求极值的条件,U,=0,，即可推导出所求关系式。,U,是温度的泛函，现在视节点温度为未知量，用节点温度的插值函数所形成的空间曲面，去近似真实温度场曲面，那么,U,就是所有节点温度的函数。如果要使,U,取极小值，就意味着,于是可以得到,即,这就是有限元求解稳定温度场的最后计算格式。,小结：,（,1,）本章建立有限元格式的基本思路是：将微分方程及其边界条件经过变分原理，转化为泛函求极值的问题，从而得到有限元的计算格式。这种方法对于泛函存在的情况都是可以使用的。,（,2,）如果与微分方程及其边界条件对应的泛函问题存在，则求解泛函极小值问题比求解微分方程及其边界条件要来的容易，对函数的光滑程度要求也低。,（,3,）本章推导了,8,节点等参元的有限元格式，也可以推导其它单元的有限元计算格式，做法类似。,