单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数理统计,是用有效方法去收集和使用数据的科学。,退 出,目 录,前一页,后一页,概率的概念形成于16世纪，,与掷骰子进行的赌博活动密切,相关。,引言,在生活当中，经常会接触到一些现象,：,确定性现象：,特点：,（,1,）,在一次观察中，试验中其结果呈现出,不确定性,；,（,2,）在大量重复实验中其结果又具有,统计规律性,。,随机现象：,在一定条件下必然发生或必然不发生的现象。,在一定条件下可能发生、也可能不发生的现象。,随机现象、随机试验、随机事件,是我们进入概率论世界,的三把钥匙。,E,1,：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、,反面T（Tails）出现的情况。,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。,其典型的例子有：,随机试验,（,E,xperiment,）,E,3,：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。,E,2,：抛一颗骰子，观察出现的点数。,退 出,前一页,后一页,目 录,E,4,：观察某一电子元件的寿命。,E,5,：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。,这些试验具有以下,特点,：,（3）,每次试验的可能结果不止一个，所有可能结果事先明确；,（4）,每次试验之前，不能确定哪一个结果会出现。,（2）在相同的条件下可以重复进行；,称具备上面四个特点的试验为,随机试验。,退 出,前一页,后一页,目 录,（1）试验具有明确的目的；,随机事件:,随机,试验中，每个可能出现的结果。记作,A,B,C,等等；,分类：,基本事件:最简单的不能再分的单个事件.,复合事件:由两个或两个以上的基本事件组成的事件.,必然事件:在,随机试验中必然出现的结果.,不可能事件:,在随机试验中决不会的结果.,随机事件,我们称一个随机事件,发生,当且仅当它所包含的,一个基本事件在试验中出现。,退 出,前一页,后一页,目 录,样本空间,定义 将随机试验,E,的所有可能结果组成的集合称为,E,的,样本空间,记为,。,样本空间的元素，即,E,的每个结果，称为,样本点,。,每一个基本事件就是一个样本点。,退 出,前一页,后一页,目 录,E,1,：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、,反面T（Tails）出现的情况。,E,3,：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。,E,2,：抛一颗骰子，观察出现的点数。,E,4,：观察某一电子元件的寿命。,E,5,：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。,1:H,T,2:1,2,3,4,5,6,5:(x,y)|T,0,x,y T,1,4:t|t,0,3:0,1,2,3,退 出,前一页,后一页,目 录,随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.,随机试验,样本空间,子集,随机事件,随机事件,基本事件,必然事件,不可能事件,复合事件,互为对立事件,1 概率的计算,2 一维随机变量,3 多维随机变量,4 数字特征,第一章 概率知识（第一讲）,退 出,目 录,前一页,后一页,一 事件之间的关系和运算,二 概率的统计定义与公理化定义,三 古典概型及计算,1.1 概率的计算,退 出,目 录,前一页,后一页,1,包含关系,A,B,如果A发生必导致B发生，则,2 相等关系,退 出,前一页,后一页,目 录,一、事件间的关系和运算,A,B,3 和事件,事件 发生当且仅当,A,B,至少发生一个.,退 出,前一页,后一页,目 录,4,积事件,A,B,事件 发生当且仅当,A,B,同时发生.,5,差事件,A,B,A,A,B,发生当且仅当,A,发生,B,不发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,6 互斥（互不相容）,7 逆事件（对立事件）,B,A,请注意互不相容与对立事件的区别！,退 出,前一页,后一页,目 录,A,8,完备事件组,事件的运算规律,交换律:,结合律:,分配律:,德摩根定律:(De Morgan),退 出,前一页,后一页,目 录,差化积:,吸收律:,例如，,在,4,中,观察某一电子元件的寿命,事件,A,=t|t,1000,表示“产品是次品”,事件,B,=t|t,1000,表示“产品是合格品”,事件,C,=t|t,1500,表示“产品是一级品”,则,表示“产品是合格品但不是一级品”;,表示“产品是是一级品”,;,表示“产品是合格品”.,退 出,前一页,后一页,目 录,是互为对立事件；,是互不相容事件；,练习：,设,A,B,C,为三个随机事件，用,A,B,C,的运,算关系表示下列各事件.,（1）,A,发生.,(2),A,发生，,B,与,C,都不发生.,(3),A,B,，,C,都发生.,(4),A,，,B,，,C,至少有一个发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,(5),A,，,B,，,C,都不发生.,二、概率的统计定义与公理化定义,1.概率的统计定义,频率 ,当,n,较小时波动幅度比较大，,当,n,逐渐增大时,频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小,它就是事件的,概率,概率是用来表示事件发生的可能性大小的度量，记为,P(A).,试验,序号,1 2 3 4 5 6 7,2,3,1 5 1 2 4,22,25,21,25,24,18,27,251,249,256,247,251,262,258,0.4,0.6,0.2,1.0,0.2,0.4,0.8,0.44,0.50,0.42,0.48,0.36,0.54,0.502,0.498,0.512,0.494,0.524,0.516,0.50,0,.,502,实例,将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次,各做7 遍,观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随,n,的增大,频率,f,呈现出稳定性,实验者,德 摩根,蒲 丰,2048,1061,0.5181,4040,2048,0.5069,12000,6019,0.5016,24000,12012,0.5005,频 率 稳 定 值 概率,事件发生,的频繁程度,事件发生,的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,退 出,前一页,后一页,目 录,2.概率的公理化定义,设,是随机试验,E,的样本空间，对于,E,的每一个事件,A,有,一个实数,P,(,A,)与之对应，且,P(A),满足：,退 出,前一页,后一页,目 录,1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展.,3、概率的性质,退 出,前一页,后一页,目 录,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：,（1）,样本空间的元素（基本事件）只有有限个；,（2）,基本事件发生的可能性相等。,1.古典概型定义,我们把这类随机试验的数学模型称为,古典概型,。,退 出,前一页,后一页,目 录,三、古典概型及计算,.,2,1,n,e,=,P,e,P,e,P,L,=,=,若样本空间的样本点总数为,n,，事件,A,包含,m,个基本事件，即,A,=,e,1,e,2,e,m,则有：,退 出,前一页,后一页,目 录,2.古典概型的计算：,3.古典概型的性质：,（1）加法原理：,完成某件事有两类方法，第一类有,n,种，第二类有,m,种，则完成这件事共有,n,+,m,种方法。,（3）排列：,1）有重复排列:在有放回选取中，从,n,个不同元素中取,r,个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 。,排列组合公式,（2）乘法原理：,完成某件事有两个步骤，第一步有,n,种方法，第二步有,m,种方法，则完成这件事共有,nm,种方法。,退 出,前一页,后一页,目 录,2）选排列：在无放回选取中，从,n,个不同元素中取,r,个元素进行排列，称为选排列，其总数为,（4）组合：,从,n,个不同元素中取,r,个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为,例1,球放入杯子模型,把,4,个不同球放到,3,个杯子中去,求第1、,2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.,4,个不同的球放到,3,个杯子的所有放法,因此第,1、2个杯子中各有两个球的概率为,例2,设有,N,件产品，其中有,M,件次品，今从中任取,n,件，,问其中恰有,k,(,k,D,),件次品的概率,是多少?,又,在,M,件次品中取,k,件，所有可能的取法有,在,N-M,件正品中取,n-k,件,所有可能的取法有,解：,在,N,件产品中抽取,n,件，取法共有,退 出,前一页,后一页,目 录,由乘法原理知：在,N,件产品 中取,n,件，其中恰有,k,件次品的取法共有,于是所求的概率为：,此式即为,超几何分布,的概率公式。,1,电话号码问题,在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.,2,骰子问题,掷,3,颗均匀骰子,求点数之和为,4,的概率,.,练习,如果事件,A,与,B,相互独立的充分必要条件是,退 出,前一页,后一页,目 录,事件的,独立性,定理:若随机事件,A,与,B,相互独立，则,也相互独立.,注意：,在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。,定理 若,其中有一对相互独立,则其余的3对都相互独立.,