单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 多项式,第一章 多项式,一元多项式理论，主要讨论了三个问题：,三、根的理论,(,多项式函数,根的个数,),。,一、整除性理论,(,整除,最大公因式,互素,),；,二、因式分解理论,(,不可约多项式,典型分,解式,重因式,),；,其中整除性是基础，因式分解是核心。,一元多项式理论，主要讨论了三个问题：三、根的理论(多项,一、基本概念,.,(3),多项式乘积的常数项,(,最高次项系数,),等于因子的常数项,(,最高次项系数,),的乘积。,2,基本结论,:,(1),多项式的加法,减法和乘法满足一些运,算规律,.,1.,一元多项式,(,零多项式,),多项式的次数。多项,式的相等，多项式的运算，一元多项式环。,(2),一、基本概念.(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于,二、整除性理论,g,(,x,),除,f,(,x,),的余式,r,(,x,)=0,。,(2),设,1.,整除的概念及其基本性质,.,2.,带余除法,.,(1),带余除法定理,.,多项式的整除性不因数域的扩大而改变,.,二、整除性理论g(x)除f(x)的余式r(x)=0。(2),1).,任一多项式整除它自身；,零多项式能被任一多项式整除；,零次多项式整除任一多项式,整除的性质,.,2),若 ，则,3),若,则,4),若,1).任一多项式整除它自身；整除的性质.2) 若,5),若,则对,有,3.,综合除法,去除,求一次多项式,的商式及余式,把,表成,的方幂和,.,5) 若 则对 有 3.综合除法 去除 求一次多项式,4.,最大公因式和互素,.,(3),设,d,(,x,),是,f,(,x,),与,g,(,x,),的最大公因式,则,(1),最大公因式,互素的概念,.,(2),最大公因式的存在性和求法,-,辗转相除法,.,反之不然,.,(,f,(,x,),g,(,x,)=(,g,(,x,),r,(,x,),4. 最大公因式和互素.(3) 设d(x)是f(x)与g(x,(6),多个多项式的互素,.,(7),最小公倍式,.,(6) 多个多项式的互素.(7) 最小公倍式.,(2).,不可约多项式,p,(,x,),有下列性质,:,(3).,整系数多项式在有理数域上可约,它在整数环上可约,.,(4).,艾森斯坦判断法,.,三、 因式分解理论,1.,不可约多项式,(1).,不可约多项式的概念,.,(2).不可约多项式p(x)有下列性质:(3).整系数多项式,2.,因式分解的有关结果,:,(1),因式分解及唯一性定理,.,(2),次数大于零的复系数多项式都可以分解,成一次因式的乘积,.,(3),次数大于零的实系数多项式都可以分解,成一次因式和二次不可约因式的乘积,.,2.因式分解的有关结果:(1) 因式分解及唯一性定理.(2),(2).,若不可约多项式,p,(,x,),是,f,(,x,),的,k,重因式,(,k,1),。则,p,(,x,),是,f ,(,x,),的,k,-1,重因式。,(3).,f,(,x,),没有,重因式,(4),消去重因式的方法,:,是一个没有重因式的多项式,它与,f,(,x,),具有完全相同的不可约因式,.,3.,重因式,(1).,重因式的概念,.,(2).若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(3).,1.,多项式函数,根和重根的概念。,四、多项式根的理论,2.,余数定理：,x,-,c,去除,f,(,x,),，所得的余式为常数。,5.,代数基本定理：每个,n,(,n,1,),次复系数多项式,在复数域中至少有一个根。因而,n,次复系数多,项式恰,n,有,个复根,(,重根按重数计算,),。,3.,有理系数多项式的有理根的求法。,4.,实系数多项式虚根成对定理。,1.多项式函数,根和重根的概念。四、多项式根的理论2.余数定,7.,根的个数定理：,P,x,中,n,(,n,0),次多项式,在数域,P,中至多有,n,个根。,难点,:,最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的,联系与区别。,6.,韦达定理。,8.,多项式函数相等与多项式相等是一致的。,重点,:,一元多项式的因式分解理论。,7.根的个数定理：Px中n(n0)次多项式难点:最大公,f(X),g(X),x,4,+ x,3,- x,2,- 2x+ 1,x,3,+ 2x,2,-3,q,1,(X),x,4,+2 x,3,- 3x,- x,3,- x,2,+x + 1,- x,3,- 2x,2,+ 3,r,1,(x)= x,2,+x -2,q,2,(X),x,3,+ x,2,-2x,x,2,+2x -3,x,2,+ x -2,r,2,(x)= x -1,=(x-1)(x+2),所以,( f, g ) = r,2,(x) = x -1,= x-1,=x+1,f(X)g(X)x4+ x3- x2- 2x+ 1x3+ 2,多项式的根和系数的关系,.,多项式的根和系数的关系.,二、三阶行列式,推广,（对角线法则）,逆序数,对换,n,阶行列式,定义,性质,展开,解方程组,（利用代数余子式）,（,Cramer,法则）,第二章 行列式,二、三阶行列式推广（对角线法则）逆序数对换 n 阶行列式,逆序数为奇数的排列称为,奇排列,，逆序数为,偶数的排列称为,偶排列,在一个排列 中，若数 ，,则称这两个数组成一个,逆序,一个排列中所有逆序的总数称为此排列的,逆,序数,逆序数,逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为在一个排列,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,定理,一个排列中的任意两个元素对换，排列改,变奇偶性,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数,对换,定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一,n,阶行列式的定义,n 阶行列式的定义,高等代数第一学期总复习课件,共七个性质，一定要熟记且能灵活运用。,共七个性质，一定要熟记且能灵活运用。,）余子式与代数余子式,行列式按行（列）展开：,）余子式与代数余子式行列式按行（列）展开：,定理,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,2 ),行列式按行（列）展开法则,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子,3,）关于代数余子式的重要性质,3）关于代数余子式的重要性质,Cramer,法则,Cramer 法则,Cramer,法则的理论价值,定理,定理,Cramer 法则的理论价值定理定理,定理,定理,定理定理,第三章 线性方程组,第三章 线性方程组,一、,.,向量的线性关系,n,维向量，向量的线性运算，线性组合，线性表出，线性相关，线性无关，极大线性无关组，向量组的秩，向量组等价,.,1,基本概念：,一、.向量的线性关系 n维向量，向量的线性运算，线性,2, 主要结论：,的充要条件是其中有一个向量是可以,由其余的向量线性表出,.,1),向量组 线性相关,2,）设向量组,线性无关，而,线性相关，那么,向量组,可由,线性表出，,而且表示法唯一,.,2 主要结论：的充要条件是其中有一个向量是可以1) 向量组,3),设向量组,中每一个向量,必线性相关,.,的,线性组合，,都是向量组,，那么向量组,而且,3.,向量组线性相关的判定：,1,),根据定义；,2,),计算以向量组为行,(,列,),的矩阵的秩；,3) 设向量组中每一个向量必线性相关. 的线性组合，都是向量,二、矩阵的秩,2.,矩阵的初等变换,1),初等变换不改变矩阵的秩；,2),用初等变换计算矩阵的秩；,1.,矩阵的秩,矩阵的秩,=,矩阵行,(,列,),向量组的秩，,矩阵的行,(,列,),秩,=,不为零的子式的最大,级数,.,二、矩阵的秩2. 矩阵的初等变换1. 矩阵的秩矩阵的秩=矩阵,三、线性方程组的解的情形,有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩,.,(1),1.,线性方程组有解的判定：,三、线性方程组的解的情形 有解的充要条件是它的系数矩阵,1),当,R,(,A,)=,R,( )=,n,，,方程组,(1),有唯一解；,2,）当,R,(A)=,R,( )=,r,n,，,方程组,(1),有无,穷多解,.,3,齐次线性方程组的解的情形：,总是有解,.,(2),2.,线性方程组的解的个数：,1) 当R(A)=R( )=n，方程组(1)有唯一解；2,1),当,R,(,A,)=,n,，,方程组,(2),只有零解；,2,）当,R,(,A,)=,r,n,，,方程组,(2),有非零解,.,四、线性方程组的解的结构,1),齐次线性方程组的基础解系,.,2),当,R,(,A,)=,r,n,，,方程组,(2),的任意,n,-,r,个,线性无关的解向量,都是,它,的基础解系，,(2),的全部解可表示为：,1) 当R(A)=n，方程组(2)只有零解；2）当R(A)=,其中,是任意的数,.,3,）当,R,(,A,)=,R,( )=,r,n,，如果 是线性,方程组,(1),的一个特解， 是,(1),的相应,导出组,(2),的基础解系，那么线性方程组,(1),的任一个解 都可表示为：,其中,是任意的数,.,对于非齐次线性方程组,:,其中 是任意的数. 3,一、向量组线性关系的判定,二、求向量组的秩,三、基础解系的证法,四、解向量的证法,典型例题,一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩三、基础解系的证法四,一、向量组线性关系的判定,一、向量组线性关系的判定,高等代数第一学期总复习课件,线性相关与线性无关还可以通过线性表出的概念来体现，即看其中有无某个向量,(,不是任意一个向量,),，可由其余向量线性表出？此外，还应注意到：线性相关与线性无关是对立的两个概念，据此，在论证某些相关型问题时，我们往往采用反证法。,线性相关与线性无关还可以通过线性表出的概念来体现,研究这类问题一般有两个方法,方法,1,从定义出发,整理得线性方程组,研究这类问题一般有两个方法方法1从定义出发整理得线性方程组,高等代数第一学期总复习课件,方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关,系判定,方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关,例,研究下列向量组的线性相关性,解一,例研究下列向量组的线性相关性解一,整理得到,整理得到,解二,解二,高等代数第一学期总复习课件,分析,分析,证明,证明,高等代数第一学期总复习课件,证明向量组的一个部分组构成最大线性无,关组的基本方法就是：,分析,根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系,证明向量组的一个部分组构成最大线性无分析根据最大线,证明,证明,由于,线性无关，于是有,设,即,例,3,已知向量组,线性无关，向量,证明：,线性无关,.,解之得,所以,线性无关,.,证：,由于 线性无关，于是有 设即 例3已知向量组 线性无,求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的,秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量,所排成的,如果向量组的向量以列（行）向量的形式给,出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等,行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，,而且可以求出最大线性无关组,二、求向量组的秩,若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵 ，,则 和 中任何对应的列（行）向量组都有相同的,线性相关性,求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的如果向量组的向,解,解,高等代数第一学期总复习课件,高等代数第一学期总复习课件,高等代数第一学期总复习课件,例,5,设,1,）证明： 线性无关,.,2,）把,扩充成一个极大无关组,.,1,）证：,由于不成比例，,2,）解：,线性无关,.,由,例5设1）证明： 线性无关.2）把扩充成一,即,为自由未知量,.,解得,线性相关,.,即 可经线性表出,.,即为自由未知量.解得线性相关.即 可经线性表出.,由,解得,线性无关,.,即 不能由线性表出,.,即,由解得线性无关.即 不能由线性表出.即,知，,再由行列式,存在不全为零的数使,线性相关,.,故即为由 扩充的一个极大无关组,.,知，再由行列式存在不全为零的数使线性相关.,要证明某一向量组是方程组的基础解,系，需要证明三个结论,:,例,证明与基础解系等价的线性无关的向量组,也是基础解系,三、基础解系的证法,分析,(3),方程组的任一解均可由该向量组线性表示,(1),该组向量都是方程组的解；,(2),该组向量线性无关；,要证明某一向量组是方程组的基础解例证明与基础,证明,证明,注,当线性方程组有非零解时，基础解系的取,法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的,注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取,四、解向量的证法,四、解向量的证法,证明,证明,高等代数第一学期总复习课件,高等代数第一学期总复习课件,高等代数第一学期总复习课件,注意,(1),本例是对非齐次线性方程组的解,的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方,程组一定存在着个线性无关的解，题中,(2),的证明表明了它的存在性,(3),对非齐次线性方程组，有时也把,如题中所给的个解称为的基础,解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合,系数之和为,1,时，才是方程组的解,(2),对齐次线性方程组，当时，,有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性,表示,注意(1)本例是对非齐次线性方程组的解(3)对非,第四章 矩阵,第四章 矩阵,一,.,主要内容,1.,矩阵的定义,简记为,实矩阵,:,元素是实数,复矩阵：,元素是复数,一. 主要内容1. 矩阵的定义简记为实矩阵: 元素是,一些特殊的矩阵：,零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、,对角阵、,数量阵、单位阵,.,2.,矩阵的基本运算,同型矩阵：,两个矩阵的行数相等、列数也相等,.,矩阵相等,:,两个矩阵同型，且对应元素相等,.,矩阵加,(,减,),法：,两个同型矩阵，对应元素相加,(,减,).,一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、2.,加法满足,加法满足,数乘满足,数与矩阵相乘：,数 与矩阵 的乘积记作 或 ，规定为,数乘满足数与矩阵相乘：数 与矩阵 的乘积记作,矩阵与矩阵相乘：,设,规定,其中,矩阵与矩阵相乘：设规定其中,乘法满足,矩阵乘法不满足：,交换律、消去律,乘法满足矩阵乘法不满足：交换律、消去律,A,是,n,阶方阵，,方阵的幂：,方阵的多项式：,并且,（,m,k,为正整数）,方阵的行列式：,满足,:,A是n 阶方阵， 方阵的幂：方阵的多项式,转置矩阵,:,一些特殊的矩阵,:,把矩阵 的行换成同序数的列得到的,新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作,.,满足：,对称矩阵和反对称矩阵：,转置矩阵:一些特殊的矩阵: 把矩阵 的行换成同,伴随矩阵：,行列式 的各个元素的代数余子式 所,构成的如下矩阵,伴随矩阵：行列式 的各个元素的代数余子式,3.,逆矩阵,定义：,A,为,n,阶方阵，若存在,n,阶方阵,使得,则称矩阵,A,是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）,矩阵,B,称为矩阵,A,的逆矩阵。,唯一性：,若,A,是可逆矩阵，则,A,的逆矩阵是唯一的,.,判定定理,:,n,阶方阵,A,可逆,且,推论：,设,A,、,B,为同阶方阵，若,则,A,、,B,都可逆，且,3. 逆矩阵定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得则称矩,满足规律：,逆矩阵求法：,（,1,）待定系数法,（,2,）伴随矩阵法,（,3,）初等变换法,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,4.,分块矩阵,满足规律：逆矩阵求法：（1）待定系数法分块矩阵的运算规则,5.,初等变换,对换变换、倍乘变换、倍加变换,初等变换,逆变换,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的,初等变换,5. 初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换初等变换逆变换三,矩阵的等价：,初等矩阵：,由单位矩阵,E,经过一次初等变换得到的方阵,称为初等矩阵,.,如果矩阵,A,经过有限次初等变换变成矩阵,B,就称矩阵,A,与矩阵,B,等价。记作,三种初等变换对应着三种初等方阵：,初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵,6.,初等矩阵,初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。,矩阵的等价：初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到,7.,初等矩阵与初等变换的关系：,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,定理：,7. 初等矩阵与初等变换的关系：初等变换初等矩阵初等逆变换,8.,用初等变换法求矩阵的逆矩阵,可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵,.,定理：,可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积,推论,1,：,推论,2,：,如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等,行变换，那么当 变成单位矩阵 时， 就变成 。,8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵可逆矩阵可以经过若干次初等,即，,即，,9.,解矩阵方程的初等变换法,或者,9. 解矩阵方程的初等变换法或者,矩阵的基本运算,方阵的幂,逆矩阵的求解、证明,矩阵方程,矩阵的分块运算,二,.,典型例题,1.,矩阵的基本运算,例,1,：设矩阵,求与,A,可交换的所有矩阵。,分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求,解：设所求矩阵为,由,得,其中,a,，,b,为实数,矩阵的基本运算二. 典型例题1. 矩阵的基本运算例1：设,例,2,：设,求,的行列式。,分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算,解：,例2：设求的行列式。分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先,例,3,：设,4,阶方阵,其中 均为,4,维列向量，且已知行列式,求行列式,分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求,解：,例3：设 4 阶方阵其中,2.,方阵的幂,例,4,：设,求,解,： （递推法）,所以，当 时,当 时,2. 方阵的幂例4：设求解： （递推法）所以，当,例,5,：已知,求 与,解：,例5：已知求 与解：,又,又,3.,逆矩阵的求解、证明,例,6:,求,A,的逆矩阵,解：,3. 逆矩阵的求解、证明例6:求A的逆矩阵解：,注意,:,用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换,注意:用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作,4.,矩阵方程,例,7:,解矩阵方程,其中 均为可逆矩阵。,注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与,X,的位置关系，,例如解,AX=B,需先考察,A,是否可逆，只有,A,可逆才可以解,此矩阵方程，在方程两边同时左乘,A,的逆，而不能右乘，,因为矩阵乘法不满足交换律。,矩阵方程,解,4. 矩阵方程例7: 解矩阵方程其中 均为,例,8:,解：,（用初等变换法）,例8:解：（用初等变换法）,5.,矩阵的分块运算,设,n,阶矩阵,A,及,s,阶矩阵,B,都可逆，求,解：设所求逆矩阵为,则,5. 矩阵的分块运算设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求解：,例,11:,例11:,解,:,（）根据分块矩阵的乘法，得,解:（）根据分块矩阵的乘法，得,（）由（）可得,（）由（）可得,